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Etude de la viscosité d'un fluide

Posté par
pitchoun56 16-03-11 à 18:14

Bonjour,
j'ai un compte rendu de TP à faire et je suis bloquée.

voilà le contexte:
Etude de la chute de la bille dans un fluide visqueux:
     - les forces de frottements visqueux modélisées par (vecteur)Ff=-k(vecteur)v où k est le coefficient de frottement de (vecteur)v la vitesse de la particule dans le fluide.
     - le poids (vecteur)P=m(vecteur)g
     - la poussée d'archimède (vecteur)Fa = -m0 (vecteur)g où m0 représente la masse du fluide déplacé.

on a ∑(vecteur)Fapp = m(vecteur)a
     P + Fa +Ff = m a ( sous entendu des vecteur )

v(indice)z=v(t)=v        et      a(indice)z=dv(indice)z/dt=v'(indice)z=v'

   1. On projette sur un axe vertical descendant, montrer que l'on obtient  l'ED du mouvement :
v'+ k*v/m = (m-m0)*g/m

   2. Montrer que la solution de l'ED est : v(t)=(m-m0)*g/k*[1-exp(-k*t/m)]


J'espère que ça vous paraît clair =s. Pouvez-vous me mettre sur la voie ?

Posté par
Marc35re : Etude de la viscosité d'un fluide 16-03-11 à 19:36

Bonsoir,
Il suffit de projeter sur l'axe vertical descendant :
3$m\,\frac{dv}{dt}\,=\,mg\,-\,m_0g\,-\,kv
3$m\,\frac{dv}{dt}\,=\,mg\,-\,m_0g\,-\,kv
3$m\,\frac{dv}{dt}\,+\,kv\,=\,mg\,-\,m_0g
3$\frac{dv}{dt}\,+\,k\,\frac{v}{m}\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g

3$\fbox{v^'\,+\,\frac{k}{m}\,v\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g}

Pour la résolution, il faut trouver la solution générale ==> 3$v^'\,+\,\frac{k}{m}\,v\,=\,0
Et, ensuite, il faut ajouter une solution particulière pour obtenir la solution totale.
(on peut aussi utiliser la méthode de variation de la constante, si tu connais...)

Si tu ne sais pas la résoudre, je te montrerai comment faire.

Posté par
pitchoun56re : Etude de la viscosité d'un fluide 16-03-11 à 21:25

J'ai bien compris votre démarche pour la première question, au départ j'arrivais au résultat mais en arrangeant un peu le tout à ma façon, enfin bon maintenant c'est très clair merci

quand à la question 2 :
j'ai trouvé pour la solution de f(t) = v'+k*v/m = 0   = >    f(t) = k exp(k/m)t

mais je ne retrouve pas comment faire avec une solution particulière
ce ne serai-ce pas en cherchant la dérivée de f(t) ? o^)
genre : f'(t) = k'*exp(kt/m) + k*[exp(kt/m)]'
et après on remet dans l'équation d'origine
donc (m-m0)*g/m = k*exp(kt/m) + k'*exp(kt/m) + k*[exp(kt/m)]'

mais ici je suis bloquée, je pense qu'il  y a quelque chose de faux; pouvez vous éclairer ma lanterne ?

Posté par
Marc35re : Etude de la viscosité d'un fluide 16-03-11 à 22:55

Je ne suis pas d'accord avec ton résultat.
Si tu appliques ce que tu as dû apprendre en terminale :
Une équation différentielle de la forme y' = ay + b a une solution de la forme y = A eat - (b/a)
Donc, ici :
3$v^'\,+\,\frac{k}{m}\,v\,=\,0\,\Rightarrow\,v^'\,=\,-\,\frac{k}{m}\,v
d'où :
3$v\,=\,A\,e^{-\,\frac{k}{m}t}
C'est la solution sans second membre (solution générale).
Le second membre étant une constante, on ajoute à la solution sans second membre une solution particulière (qui est une constante comme le second membre).
3$v\,=\,A\,e^{-\,\frac{k}{m}t}\,+\,C
D'où, dans l'équation différentielle :
3$-\,\frac{k}{m}\,A\,e^{-\frac{k}{m}\,t}\,+\,\frac{k}{m}\,(A\,e^{-\frac{k}{m}\,t}\,+\,C)\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g
3$-\,\frac{k}{m}\,A\,e^{-\frac{k}{m}\,t}\,+\,\frac{k}{m}\,A\,e^{-\frac{k}{m}\,t}\,+\,\frac{k}{m}\,C\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g
3$\frac{k}{m}\,C\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g

3$C\,=\,\frac{m}{k}\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g

3$C\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g
Donc :
3$v\,=\,A\,e^{-\,\frac{k}{m}t}\,+\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g
Il ne reste plus qu'à déterminer A.
3$t\,=\,0\,\Rightarrow\,v(0)\,=\,0\,=\,A\,+\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g\,=\,0\,\Rightarrow\,A\,=\,-\,\frac{m\,-\,m_0}{k}

3$v\,=\,-\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,e^{-\,\frac{k}{m}t}\,+\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g

3$\fbox{v\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g\,\left(1\,-\,e^{-\,\frac{k}{m}t}\right)}

Je peux t'expliquer une autre façon de faire...

Posté par
pitchoun56re : Etude de la viscosité d'un fluide 17-03-11 à 13:45

Bonjour,

J'ai repris les équations différentielles comme vous m'avez expliqué,
mais au niveau de A = - (m-m0)/k
je ne comprends pas pourquoi on peut enlever g, parce que c'est une constante peut-être , non ?

En tout cas la méthode est là mais je veux bien quand même que vous m'expliquiez la deuxième méthode s'il vos plaît = )

Posté par
JEDviscosité 17-03-11 à 14:34

Bonjour,

Regardez avec attention la solution de marc35.

Dans l'expression de A ,g a été oublié mais on le retrouve dans l'expression finale de v.


Bon courage.  JED.

Posté par
pitchoun56re : Etude de la viscosité d'un fluide 17-03-11 à 15:13

C'est bien ce que je pensais, mais je voulais avoir la certitude de cet oubli = )

Posté par
Marc35re : Etude de la viscosité d'un fluide 17-03-11 à 16:53

Désolé pour l'oubli du g...
On a beau relire mais on finit par en perdre en route quand même.
Sur un écran, c'est plus facile d'en perdre surtout quand on écrit en LaTeX.
Il y a une autre méthode qui s'appelle la "méthode de variation de la constante" que je peux t'expliquer si tu veux...

Posté par
pitchoun56re : Etude de la viscosité d'un fluide 17-03-11 à 19:11

Ce serai avec plaisir, cette méthode me dit quelque chose mais bon ... j'avoue ne pas en savoir plus ^^

Posté par
Marc35re : Etude de la viscosité d'un fluide 17-03-11 à 19:45

C'est une variante mais ça revient quasiment au même.
On cherche d'abord la solution sans second membre (sans utiliser la méthode "terminale" mais on peut l'utiliser aussi ! ).
3$v^'\,+\,\frac{k}{m}\,v\,=\,0\,\Rightarrow\,v^'\,=\,-\,\frac{k}{m}\,v
3$\frac{v^'}{v}\,=\,-\,\frac{k}{m}
3$ln(v)\,=\,-\,\frac{k}{m}\,t\,+\,cste
(en toute rigueur, mathématiquement, c'est ln|v| mais v est positif)
On pose  cste\,=\,ln(A)
3$ln(v)\,=\,-\,\frac{k}{m}\,t\,+\,ln(A)
3$ln(\frac{v}{A})\,=\,-\,\frac{k}{m}\,t
3$v\,=\,A\,e^{-\frac{k}{m}\,t}  (solution sans second membre)
C'est là qu'intervient la "variation de la constante"
3$v^'\,=\,A^'\,e^{-\frac{k}{m}\,t}\,-\,\frac{k}{m}\,A\,e^{-\frac{k}{m}\,t}
Et on reporte dans l'équation différentielle complète :
3$v^'\,+\,\frac{k}{m}\,v\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g
3$A^'\,e^{-\frac{k}{m}\,t}\,-\,\frac{k}{m}\,A\,e^{-\frac{k}{m}\,t}\,+\,\frac{k}{m}\,A\,e^{-\frac{k}{m}\,t}\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g
3$A^'\,e^{-\frac{k}{m}\,t}\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g
3$A^'\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g\,e^{\frac{k}{m}\,t}
3$A^'\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g\,\frac{m}{k}\,\frac{k}{m}\,e^{\frac{k}{m}\,t}
Donc :
3$A\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g\,e^{\frac{k}{m}\,t}\,+\,C
En remplaçant A par sa valeur :
3$v\,=\,(\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g\,e^{\frac{k}{m}\,t}\,+\,C)\,e^{-\frac{k}{m}\,t}
3$v\,=\,\left(\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g\,e^{\frac{k}{m}\,t}\,+\,C\right)\,e^{-\frac{k}{m}\,t}
3$v\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g\,+\,C\,e^{-\frac{k}{m}\,t}
Il ne reste plus qu'à déterminer C :
3$v(0)\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g\,+\,C\,=\,0
3$C\,=\,-\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g
3$\fbox{v\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g\,\left(1\,-\,\,e^{-\frac{k}{m}\,t}\right)}

Posté par
pitchoun56re : Etude de la viscosité d'un fluide 17-03-11 à 23:54

Je préfère cette démarche mais il reste un point à éclaircir ...
Peux - tu m'expliquer ce passage ?

A' = (m-m0)*g/m * ekt/m

A' = (m-m0)*g/m * m/k * k/m * ekt/m

et pourquoi en primitivant on obtient :

A = (m-m0)*g /k * ekt/m+ C

Je ne vois pas d'où sort le k au dénominateur  = S

Posté par
Marc35re : Etude de la viscosité d'un fluide 18-03-11 à 12:11

Oui...facile, pas de problème...
On a donc :
3$A^'\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g\,e^{\frac{k}{m}\,t}
Si on veut trouver A, il faut prendre la primitive des deux membres. Or la primitive de  e^{\frac{k}{m}\,t} qui est de la forme  e^{u(t)} n'est pas facile à calculer si on n'a pas u^'(t)  en facteur.
Effectivement, une primitive de  u^'(t)\,e^{u(t)}  est  e^{u(t)}  (pour la bonne raison que la dérivée de e^{u(t)}  est  u^'(t)\,e^{u(t)}).
Or, si u(t)\,=\,\frac{k}{m}\,t , on a  u^'(t)\,=\,\frac{k}{m}. Donc on fait apparaître la quantité  \frac{k}{m} mais, pour ne pas changer la valeur du membre de l'équation, on est obligé de faire apparaître  \frac{m}{k}\,\frac{k}{m}  c'est-à-dire que l'on multiplie par 1 (donc ça ne change pas la valeur).
Donc on obtient :
3$A^'\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g\,\frac{m}{k}\,\frac{k}{m}\,e^{\frac{k}{m}\,t}
que l'on peut éventuellement écrire (pour davantage de clarté) :
3$A^'\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g\,\frac{m}{k}\,\left(\frac{k}{m}\,e^{\frac{k}{m}\,t}\right)
On a :
3$\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g\,\frac{m}{k}\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,\frac{m}{k}\,g\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g   (simplification par m)
On trouve donc sans difficulté une primitive du terme entre parenthèses  \frac{k}{m}\,e^{\frac{k}{m}\,t} comme il a été dit avant \Rightarrow\,e^{\frac{k}{m}\,t}\,+\,C.
Donc, en prenant la primitive :
3$A^'\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{m}\,g\,\frac{m}{k}\,\left(\frac{k}{m}\,e^{\frac{k}{m}\,t}\right)\,\Rightarrow\,A\,=\,\frac{m\,-\,m_0}{k}\,g\,e^{\frac{k}{m}\,t}\,+\,C

Voilà, j'espère que mes explications ne sont pas trop embrouillées... C'est plus facile à faire qu'à expliquer

Posté par
Marc35re : Etude de la viscosité d'un fluide 18-03-11 à 12:13

Calcul de niveau "terminale S"... bon élève de terminale S peut-être...

Posté par
JEDviscosité 18-03-11 à 14:13

Bonjour,

Une autre proposition........

L'équation est de la forme : dv/dt = B -Av

dv/(B-Av) = dt

Intégrons     -1/A ln(B-Av) = t + lnC    (1)

A t = 0 v=0   ln C = -1/A lnB  .............. à placer dans (1).

Continuez.  JED.

Posté par
pitchoun56re : Etude de la viscosité d'un fluide 18-03-11 à 18:59

Ah mais oui ! c'est évident maintenant, pfff je suis vraiment stupide c'est ce qu'on faisait tout le temps l'année dernière.

Bon en tout cas c'est bon, tout m'est revenue, je te remercie beaucoup pour ton aide je pense que dorénavant je n'oublierai plus cette démarche ^^

Bonne soirée et merci à tous pour votre aide Marc35 et JED= D
  


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