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Étude de l'atome d'hydrogène
Bonjour.
Je suis bloquée sur un exercice qui traite de l'atome d'hydrogène avec les équations de Schrödinger.
Voici l'énoncé :
On considère l'atome d'hydrogène étudié dans le référentiel lié au noyau supposé galiléen. Sa fonction d'onde dépend des coordonnées sphériques (r;
;
) de l'électron de masse m. On cherche des solutions ne dépendant que de r sous forme 
(r)=C*e-r/a. L'équation de Schrödinger s'écrit alors :
-h2/2m ((r)'' + 2/r (r)') + Ep(r)*(r) = E*(r)
avec Ep(r) l'énergie potentielle autour du proton telle que Ep(r)=-e2/(4
r
).
n.B. : "h" correspond à la constante de Planck réduite mais je n'ai pas l'outils pour l'écrire.
1) Montrer que la solution convient.
2) Calculer a (rayon de Bohr) et l'énergie E du système.
3) Calculer C.
Pour la première question, j'ai dérivé (r) deux fois :
(r)'' = C/a2 e-r/a
(r)' = -C/a e-r/a
Ensuite, je remplace ça dans l'équation proposée et j'obtiens quelque chose de bien compliqué :
C e-r/a (-h2/(2ma2) + 2h2/(2mra) - e2/(4r)) = C e-r/a E donc j'en déduis a priori que :
E = (-h2/(2ma2) + 2h2/(2mra) - e2/(4r))
Est-ce correct pour le moment ?
Pour les questions suivantes, je ne sais pas du tout par où commencer.
Alors merci par avance pour vos explications !
Bonsoir
Je te réponds avec un téléphone portable . Pas question d'écrire des formules compliquées. Juste quelques indications. En regroupant les termes dépendants de 1/r, l'équation de schrodinger peut s'écrire sous la forme générale:
A. +B./r=E.
L'expression de convient si B=0. Cette condition permet d'obtenir l'expression de a. De façon immédiate on obtient ensuite E =A.
Pour C, il faut écrire que la fonction d'onde est normée: la probabilité de trouver l'électron dans tout l'espace vaut 1.
Donc ça ne sert à rien de dériver ? Il suffit juste de factoriser par 1/r dans l'équation de Scheödinger donnée ?
Bonsoir
Bien sûr que si! Mais tu sais comment dériver une exponentielle: la dérivée de par rapport à r vaut -/a et la dérivée seconde de par rapport à r vaut /a2. Cela justifie mon message précédent.
Bonjour.
J'ai bien réussi les deux premières questions grâce à tes indications.
Pour la 3) par contre, je vois le principe mais je ne sais pas comment l'appliquer.
J'ai écrit 
(espace) ||2 = 1 mais justement, je ne sais pas comment traduire "espace". On ne me donne que les coordonnées sphériques (r;;) donc j'ai essayé de faire ça :
(=0 à )(=0 à 2)(r=0 à 
) de C2e-2r/a =1 et comme on a une solution qui ne dépend que de r je peux réécrire :
(r=0 à ) de C2e-2r/a dr = 1
Mais le problème c'est que je ne sais pas comment on enlève l' en haut du signe intégrale.
Je peux faire quand même :
C2*(r=0 à ) dr =1
C2*[1/a * e-r/a(entre 0 et ) = 1
mais voilà le problème avec le ...
Et d'ailleurs je me suis trompée dans le calcul de la primitive, c'est C2*[a*e-2r/a](entre 0 et ) = 1
Bonjour
Reprend l'expression du volume élémentaire. Une fois l'intégration par rapport aux angles effectuée tu vas arriver à intégrer de 0 à l'infini:
4r22.
La borne infinie ne pose pas de problème puisque alors l'exponentielle tend vers zéro 
Bonsoir
Tu as raison : ce n'est pas tout à fait évident. Une méthode possible consiste à faire deux intégrations par partie successives :
Poser ; tu va alors te retrouver à calculer une primitive de
; il faut une seconde intégration par partie en posant :
. Pour info voici ce que j'obtiens :
Superbe expression mais je n'ai jamais appris à faire des intégrations par partie ^^...
Enfin, ça marche, c'est l'essentiel.
Bonjour
La méthode d'intégration par partie est au programme de math de cette année mais celle-ci est loin d'être terminée ! En attendant, ton professeur de sciences physiques acceptera peut-être la méthode suivante : "deviner" l'expression d'une primitive puis "démontrer" que l'expression devinée convient...
a pour dimension le carré d'une longueur puisque l'exponentielle est sans dimension. Une primitive par rapport à r : F(r) a donc pour dimension le cube d'une longueur. Compte tenu que l'intégration ou la dérivation conserve l'exponentielle à la constante (-2/a) près, on peut imaginer F(r) comme le produit de l'exponentielle par une fonction polynôme de degré 3 en r. On pose donc :
On dérive l'expression par rapport à r et on ajuste les quatre constantes de façon à obtenir :
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