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Niveau maths sup
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Etude d’une pompe plus complexe

Posté par
nirosane
16-04-18 à 00:41

Bonsoir , pourriez vous m'aider pour cet exercice je bloque complètement.

Deux réservoirs, de même voulume V, sont mis en communication par une pompe dont le cylindre a un volume maximal . A l'instant initial, les deux réservoirs contiennent deux gaz parfaits identiques à la même pression P0 et à la même température T0. Le piston est initialement en position haute, de telle sorte que le volume du cylindre est nul au début de l'expérience. A la descente du piston, la soupape S1 est ouverte et la soupape S2 est fermée. A la remontée du piston, la soupape S1 est fermée et la soupape S2 est ouverte.
On note Png et Pnd les pressions respectivement dans le réservoir de gauche et le réservoir de droite après n aller-retour du piston, depuis sa position initiale. On suppose que toutes les transformations s'effectuent de manière isotherme, et que le système constitué par le gaz contenu dans les deux réservoirs et le cylindre est fermé.

1.En utilisant une loi de conservation, établir une relation entre Png , Pnd et P0.
2.Quelle est la relation entre Pn-1g et Png?
3.En déduire l'expressions de Png et Pnd en fonction de P0,V et .
4.Donner les limites de Png et Pnd quand n tend vers l'infini. Commenter.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
nirosane
re : Etude d’une pompe plus complexe 16-04-18 à 00:43

Voici le schéma de la pompe :

Etude d’une pompe plus complexe

Posté par
J-P
re : Etude d’une pompe plus complexe 16-04-18 à 10:40

Vg(0) = Vo
vd(0) = Vo
V1(0) = 0

descente piston
vg(1) + V1 = Vo + V1
Po.Vo = P1.(Vo+V1)
Pg1 = Po.Vo/(Vo+V1) (en fin de descente)

montée piston :
Pd1 * Vo = Po.Vo/(Vo+V1) * V1 + Po.Vo
Pd1 = Po.V1/(Vo+V1) + Po
Pd1 = Po.(Vo + 2V1)/(Vo+V1)  (en fin de montée)

Pgn = Po.[Vo/(Vo+V1)]^n

Pdn = 2Po - Po.[Vo/(Vo+V1)]^n
Pdn = Po.[2 - (Vo/(Vo+V1))^n]

lim(n-->+oo) Pgn = 0  (car 0 < Vo/(Vo+V1) < 1)
lim(n-->+oo) Pdn = 2.Po

Sauf distraction.  

Posté par
nirosane
re : Etude d’une pompe plus complexe 16-04-18 à 14:10

Bonjour,
Merci de votre réponse,
Pouvez vous s'il vous plait m'expliquer vos réponses car je n'ai pas bien compris  

Posté par
J-P
re : Etude d’une pompe plus complexe 16-04-18 à 15:55

Raisonnement sur le seul réservoir de gauche.

Au départ, réservoir de gauche : Po et Vo et To


Le piston descend et cela ouvre S1.
Lorsque le piston est tout en bas, le gaz qui étiat au départ dans la chambre de gauche occupe maintenant le volume Vo + V1

On peut donc calculer la pression P1 à cet instant par Po.Vo = P1 . (Vo+V1)
P1 = Po.Vo/(Vo+V1)

Dès que le piston remonte, S1 se ferme (et S2 d'ouvre)
Dans le réservoir de gauche, on a une pression P1 = Po.Vo/(Vo+V1) et un volume Vo (qui restent pendant toute la remontée du piston, puisque S1 fermé)

Lorsque le piston est remonté à fond et recommence à descendre, S2 est fermé et S1 ouvert.
Le piston tout en haut, on avait un volume Vo de gaz sous la pression P1 = Po.Vo/(Vo+V1)
Lorsque le piston arrive en bas, le volume occupé par le gaz est de nouveau (Vo + V1) et la pression est P2 telle que :

P2.(Vo+V1) = P1.Vo
P2.(Vo+V1) = Po.Vo/(Vo+V1) .Vo
P2 = Po.Vo²/(Vo+V1)²

Dès que le piston remonte, S1 se ferme (et S2 s'ouvre)
Il y a donc dans le réservoir de gauche un volume Vo de gaz à la pression P2 = Po.(Vo/(Vo+V1))² et cela se conserve jusqu'à ce que le piston soit tout au dessus.

Jusqu'ici, on a vu que (pour le réservoir de gauche) :
- Après 0 aller retour du piston : Pression : Po et Volume = Vo
- Après 1 aller retour du piston : Pression : Po.Vo/(Vo+V1) et Volume = Vo
- Après 2 aller retour du pistion : Pression : Po.(Vo/(Vo+V1))² et Volume = Vo

En continant le même raisonnement, on trouve qu'après le n ième aller-retour du piston, on a (dans le réservoir de gauche) :
Pg(n) = Po.(Vo/(Vo+V1))^n et volume Vo
-----
Comme la quantité de matière de gaz pour l'ensemble des 2 réservoirs (piston en haut) reste la même, on peut trouver ce qui se passe dans le réservoir de droite.

Au départ, on a 2 réservoirs à la pression Vo et au volume Vo (donc 2.Vo pour l'ensemble des 2 réservoirs):
2.Po.Vo = n.R.To
n = 2.Po.Vo/(R.To)  (n est la quantité de matière de gaz totale dans l'expérience)

La quantité de matière de gaz dans le réservoir de gauche après n aller-retours du piston est : ng(n) = Pg(n) * Vo/(RTo)
ng(n) = Po.(Vo/(Vo+V1))^n * Vo/(RTo)

La quantité de matière de gaz dans le réservoir de droite après n aller-retours du piston est : nd(n) = n - ng(n)
nd(n) = 2.Po.Vo/(R.To) - Po.(Vo/(Vo+V1))^n * Vo/(RTo)
nd(n) = Po.Vo/(R.To) * (2 - (Vo/(Vo+V1))^n)

Dans le réservoir de droite, après n aller-retour du piston, on a :

Pd(n) * Vo = nd(n) * R*To

Pd(n) * Vo = Po.Vo/(R.To) * (2 - (Vo/(Vo+V1))^n) * R*To

Pd(n) = Po * (2 - (Vo/(Vo+V1))^n)  (pression dans le réservoir de droite après n aller-retou du piston)
-----
Groupement des résultats:

Après n aller-retour du piston, on a:

Pession dans le réservoir de gauche : Pg(n) = Po.(Vo/(Vo+V1))^n
Pression dans le réservoir de droite : Pd(n) = Po * (2 - (Vo/(Vo+V1))^n)

les volumes de gaz  sont évidemment Vo dans chacun des réservoirs.
-----
OK  ?

Sauf distraction.  

Posté par
nirosane
re : Etude d’une pompe plus complexe 16-04-18 à 23:34

Ah d accord merci beaucoup je comprend maintenant

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