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Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant

Posté par
lyry19 31-10-17 à 13:48

J'ai un exercice à réaliser, voici l'énoncé et en bleu mes réponses

Un point matériel M de masse m est astreint à se déplacer sans frottements sur une tringl e horizontale AB de longueur L. Cette tringle fixée en A sur un axe vertical, tourne à la vitesse constante dans le plan horizontal.
Le point M est accroché à un ressort de raideur k et de longueur à vide l0, dont l'autre extrémité est accrochée en B fixe sur la tige.

Etablir l'équation différentielle du mouvement par la méthode dynamique
x"-x(²0+²)=-²0l0


Par la méthode énergétique
(dEm/dt)=(dEm/dx)X(dx/dt)=0
J'ai trouvé
x''(k-m²+m)+(mg-kl0)=0

Comparer
Je ne sais pas

Etudier la possibilité d'un équilibre pour le point M et en déterminer la position xeq
Retrouver cette position par une méthode énergétique. Etudier sa stabilité
S'il existe un extremum de Ep il y a1  équilibre à l'équilibre
(dEptot/dx)=0=kxeq-kl0+mg-m²xeq
xeq=(kl0-mg)/(m²-k)

Posté par
vanoisere : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 31-10-17 à 19:47

Bonsoir
Cela ressemble beaucoup à l'exercice précédent en choisissant =/2 rad. Dans ce cas, le poids est compensé par l'action de la tige horizontale et ne doit pas intervenir, ni dans la condition d'équilibre, ni dans l'équation différentielle régissant le mouvement.

Posté par
lyry19re : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 01-11-17 à 13:44

Je ne comprends pas car en enlevant mg je n'obtiens quand même pas la même chose entre la méthode dynamique et énergétique

Etablir l'équation différentielle du mouvement par la méthode dynamique
mx"Ux=-mgy+RUy+k(x-l0)Ux+m²AM.Ux-2mVr

On projète sur Ux
mx"=k(x-l0)+m²AM
mx"=kx-kl0+m²x
mx"-x(k+m²)=-kl0
x"-x((k/m)+²)=-(k/m)l0

x"-x(0²+²)=-²0l0

Par la méthode énergétique
(dEm/dt)=(dEm/dx)X(dx/dt)=0

Ep(T) =(1/2)k(x-l0)²
Ep(fie)(-1/2)m²x²
Eptotale=(1/2)k(x-l0)²-(1/2)m²x²

(dEptotale/dx)=(k(x-l0-m²x
(dEm/dt)=(k(x-l0)-m²x+mx))x'
0=(x(k-m²-kl[sub][/sub])x'

Je devrais trouver la même chose ?

Posté par
vanoisere : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 01-11-17 à 15:36

Bonjour

Citation :
Je devrais trouver la même chose ?

On doit évidemment trouver la même chose...
Avant de t'aider, j'aimerais poser une question :
selon l'énoncé, le ressort a une extrémité fixée à la masse m en mouvement et l'autre extrémité fixée au point B, extrémité de la tige située à la distance L de l'axe de rotation. Cette situation est envisageable si le ressort peut travailler en compression mais souvent, dans ce type de problème, la seconde extrémité du ressort est reliée au point A sur l'axe de rotation, le ressort travaillant ainsi en extension... Alors : copie exacte de l'énoncé ou permutation entre B et A ???

Posté par
lyry19re : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 01-11-17 à 15:42

Voici le schéma
(^^^^^= ressort)


|
|
|
XA-------------------X----------------B
|                                            M ^^^^^^^^^^
|
|
|

Posté par
vanoisere : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 01-11-17 à 16:48

Le ressort travaille donc en compression. Je choisis un vecteur unitaire  \overrightarrow{u} colinéaire à AB et orienté de A vers B. Je travaille dans un repère tournant autour de l'axe vertical passant par A à la vitesse angulaire \omega. Ce repère n'est pas galiléen, il faut prendre en compte les forces d'inertie...

Première méthode ; utilisation de la relation fondamentale de la dynamique appliquée à M.

Inventaire des forces :

L'action du ressort : \overrightarrow{T}=-k\left(x-L+l_{0}\right)\overrightarrow{u}

La force d'inertie centrifuge : \overrightarrow{F_{ie}}=-m.\omega^{2}.x.\overrightarrow{u}

Le poids : \overrightarrow{P}=m.\overrightarrow{g}

La force d'inertie de Coriolis : \overrightarrow{F_{ic}}=-2m\overrightarrow{\omega}\wedge\left(\frac{dx}{dt}\right)\overrightarrow{u}

La réaction de l'axe. En absence de frottement, celle-ci est perpendiculaire au vecteur unitaire \overrightarrow{u} et compense la force de Coriolis et le poids. La projection de la relation fondamentale de la dynamique sur \overrightarrow{u} conduit à :

m\ddot{x}=-k\left(x-L+l_{0}\right)-m.\omega^{2}.x

Je te laisse continuer, vérifier en particulier que l'étude énergétique conduit à la même équation différentielle vérifiée par x.

Deux remarques générales très importantes inspirées par ton premier message :

1° : compte tenu de la relativité de la notion de mouvement, il est indispensable en mécanique de commencer par préciser dans quel repère on étudie le mouvement.

2° : avant de proposer une solution, commence toujours par en vérifier l'homogénéité. Une relation de la forme :
x''(k-m²+m)+(mg-kl0)=0 est nécessairement fausse : on ne peut pas additionner des grandeurs de dimensions différentes comme m et k .

Posté par
lyry19re : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 01-11-17 à 18:34

Je retrouve l'équation différentielle par la méthode dynamique (comme vous) mais je n'y arrive pas pour la méthode énergétique.

Je suis partie du fait que dEm/dt = dEm/dx * dx/dt = ( dEp/dx + dEc/dx )* dx/dt
Est ce que mon départ fonctionne pour trouver l'équation différentielle ?

Posté par
vanoisere : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 01-11-17 à 19:23

J'ai commis une erreur de signe dans mon message précédent : comme son nom l'indique, la force centrifuge a le sens du vecteur unitaire. Je rectifie :
\overrightarrow{F_{ie}}=m.\omega^{2}.x.\overrightarrow{u}
m\ddot{x}=-k\left(x-L+l_{0}\right)+m.\omega^{2}.x
L'énergie potentielle de pesanteur est constante, on peut la choisir nulle. Comme précédemment expliqué, seules la force élastique et la force d'inertie centrifuge dérivent d'une énergie potentielle fonction de x.

E_{p}=\frac{1}{2}k\left(x-L+l_{0}\right)^{2}-\frac{1}{2}m.\omega^{2}.x^{2}

E_{c}=\frac{1}{2}m.\dot{x}^{2}

\frac{dE_{m}}{dt}=\frac{dE_{p}}{dt}+\frac{dE_{c}}{dt}=k.\dot{x}.\left(x-L+l_{0}\right)-m.\omega^{2}.x.\dot{x}+m.\dot{x}.\ddot{x}

\frac{dE_{m}}{dt}=\dot{x}.\left[k.\left(x-L+l_{0}\right)-m.\omega^{2}.x+m.\ddot{x}\right]=0\quad\forall t

premier cas : \dot{x}=0\quad\forall t situation correspondant à la position d'équilibre.

deuxième cas : au cours du mouvement :

k.\left(x-L+l_{0}\right)-m.\omega^{2}.x+m.\ddot{x}=0\quad\forall t

On obtient bien la même chose...

Posté par
lyry19re : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 01-11-17 à 19:58

Je voudrais savoir si cela est juste pour information :
dEm/dt = dEm/dx * dx/dt = ( dEp/dx + dEc/dx )* dx/dt

Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
lyry19re : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 01-11-17 à 20:56

Et dans quel cas utilise t-on ma formule précédente ?

C'est bon j'ai réussi la méthode énergétique

Encore merci

Posté par
lyry19re : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 01-11-17 à 21:23

J'ai encore une question car j'ai une incompréhension toute bête.

C'est confus pour moi, on sait que dEm/dt = dEm/dx * dx/dt = ( dEp/dx + dEc/dx )* dx/dt
or si on n'utilise pas cette formule et que l'on dérive par rapport à x
par exemple pour la question suivante, on nous demande de calculer la position d'équilibre. Donc on utilise le fait que dEp/dx = 0 à l'équilibre.
or E_{p}=\frac{1}{2}k\left(x-L+l_{0}\right)^{2}-\frac{1}{2}m.\omega^{2}.x^{2}
pour la question précédente, on a dérivé en fonction de t, car dx/dt = x'
Cependant, si on dérive en fonction de x, on utilise la formule dEp/dx donc on obtiendra :
dEp/dx = -k*(L-x-lo) -m[sup][/sup]*x

est-ce bien cela ?

Posté par
lyry19re : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 01-11-17 à 21:34

J'ai fait une erreur dans ma dernière ligne :
dEp/dx = -k-m²x

Posté par
lyry19re : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 01-11-17 à 21:46

Je dois dans la dernière question Définir et exprimer la réaction de la tige lorsque le point M est en mouvement et lorsqu'il est en équilibre et comparer

Je ne vois pas du tout comment m'y prendre.

Pouvez vous me donner des indications.

Merci beaucoup

Posté par
vanoisere : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 01-11-17 à 22:56

Citation :
Je voudrais savoir si cela est juste pour information :
dEm/dt = dEm/dx * dx/dt = ( dEp/dx + dEc/dx )* dx/dt

Les choses sont un peu plus compliquées que cela ! Tu dois, dans le cas général, appliquer la relation sur la dérivée de fonction de fonction : avec u dépendant du temps :
\\ \frac{df(u)}{dt}=f'(u).\frac{du}{dt}
Dans le cas de l'énergie potentielle qui dépend uniquement de la variable x,  tu peux effectivement écrire :

\frac{dE_{p}}{dt}=\frac{dE_{p}}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}=\frac{dE_{p}}{dx}\cdot\dot{x}
En revanche, puisque l'énergie cinétique dépend de v et non de x, il faut écrire :

\frac{dE_{c}}{dt}=\frac{1}{2}m\cdot\frac{dv^{2}}{dt}=\frac{1}{2}m\cdot\frac{dv^{2}}{dv}\cdot\frac{dv}{dt}=m.\dot{x}.\ddot{x}
En absence de frottement, lorsque toutes les forces dérivent d'une énergie potentielle, si on note F la résultante suivant l'axe des x, le vecteur vitesse étant colinéaire à cet axe, on peut écrire :

dE_{p}=-\delta W=-F.dx
soit :

F=-\frac{dE_{p}}{dx}
écrire à l'équilibre F = 0 ou écrire que la dérivée de Ep par rapport à x est nulle (extremum de Ep) conduit donc à la même relation d'équilibre mais le raisonnement sur l'énergie potentielle permet plus facilement d'établir le caractère stable ou instable de cet équilibre.
Citation :
Je dois dans la dernière question Définir et exprimer la réaction de la tige lorsque le point M est en mouvement et lorsqu'il est en équilibre et comparer

Je t'ai quasiment fourni le résultat en faisant l'inventaire des forces. En absence de frottement, la somme des vecteurs forces perpendiculaires à l'axe (AB) est nécessairement le vecteur nul. En notant R la réaction de l'axe sur la masse m, cela conduit dans le cas général à :

\overrightarrow{R}+m.\overrightarrow{g}-2m\overrightarrow{\omega}\wedge\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)\overrightarrow{u}\right]=\overrightarrow{0}

Dans le cas particulier de l'équilibre, la force d'inertie de Coriolis est nulle : la réaction compense juste le poids. Dans le cas du mouvement : la réaction de l'axe compense le poids et la force de Coriolis ; la réaction possède une composante verticale (pour compenser le poids) et une composante horizontale perpendiculaire à la tringle pour compenser la force de Coriolis...

Posté par
lyry19re : Etude d'un point matériel dans un référentiel tournant 02-11-17 à 11:27

Encore merci beaucoup pour votre aide.


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