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Etude d'un barrage poids
Bonjour !
Je rencontre des problèmes avec un exercice sur un Barrage poids, en statique des fluides (MPSI).
Voici l'énoncé du problème : ** lien externe non autorisé (il ne sera plus là dans quelques temps.. le but du forum est aussi de constituer une base pérenne d'exercices corrigés ! **
J'ai réussi jusque la question 4 :
La pression en fonction de l'altitude : P(z)= -mu*g*(z-h)+P0
La question 5 me pose problème :
En déduire, par décomposition de la face immergée du barrage en bandelettes horizontales de longueur L que les forces pressantes exercées par l'eau sur la face immergée ont une résultante d'intensité :
Feau = (P0*L*h + (1/2)Mu*g*L*h²)/cos(alpha).
Si je prends la partie immergée, en la décomposant en bandes horizontales, chaque bande a une longueur L et une largeur (h-z)*tan(alpha).
Ensuite, par définition, dF = P*dS , avec dF une force pressante et dS une surface infinitésimale.
J'imagine qu'il faut que j'intègre le produit des pressions par les surfaces entre 0 et h, mais je ne sais vraiment pas comment m'y prendre. Il doit sûrement manquer quelque chose à mon raisonnement mais je ne vois pas bien quoi...
Merci d'avance pour votre aide.
Zazouuu.
Désolé, j'ignorais que les liens étaient interdits.
Voici l'énoncé complet :
Un barrage est formé d'un solide indéformable en forme de pentaèdre de base rectangulaire, de longueur L. Sa section est un triangle isocele de hauteur h et de demi angle au sommet Alpha. Sa masse volumique est Rho. Il est posé sur le sol horizontal et permet de retenir l'eau d'un lac.
On suppose que la résultante des forces de contact exercées par le sol sur le barrage se décompose en :
- une composante normale N verticale ascendante
- une composante tangancielle T horizontale qui s'oppose au glissement du barrage
On admet que ni l'air ni l'eau ne peuvent pénetrer sous le barrage. La longueur L du barrage est suffisemment grande pour que l'on puisse négliger les forces de liaison intervenant à ses extrémités. On note P0 la pression de l'air autour du barrage.
h = 10m
L = 40m
g = 10 m.s^-1
Rho = 2.10^3 kg.m^-3
Mu = 10^3 kg.m^-3
Alpha = 45 Deg
P0 = 1 bar
I. Exprimer la masse m du barrage.
II. Représenter sur un schéma toutes les forces appliquées sur le barrage.
III. Exprimer l'intensité Fair de la force pressante exercée par l'air sur la face émergée du barrage.
IV. Exprimer la pression P dans l'eau en fonction de l'altitude Z.
V.
En déduire, par décomposition de la face immergée du barrage en bandelettes horizontales de longueur L que les forces pressantes exercées par l'eau sur la face immergée ont une résultante d'intensité :
Feau = (P0*L*h + (1/2)Mu*g*L*h²)/cos(alpha).
VI. En utilisant les questions précedentes, en déduire N et T les deux composantes de la force de contact du sol sur le barrage. On admet que l'équilibre est garanti si T=< f*N avec f coefficient de frottement statique.
VII. Calculer fmin le coefficient de frottement minimal garantissant l'équilibre du barrage.
Merci beaucoup !
Si l'on considère une bandelette de hauteur , tu peux vérifier que sa surface vaut
.
Connaissant l'expression de en fonction de la hauteur
, tu peux en déduire l'effort exercé par les forces de pression sur le barrage en intégrant sur la hauteur du barrage:
Merci pour votre réponse.
Pouvez vous détailler l'intégration ?
Effectivement, dS = L * (1/cos(alpha)) * dz
P(z)= -mu*g*(z-h) + P0
Comment intégrer P(z)*dS ?
Je retrouve des z et des dz dans mon intégrale.. et je ne sais pas quoi en faire :s !
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