Niveau maths sup

etincelle rupture

Posté par
Monk3y 07-10-09 à 22:31

Bonsoir, j'ai un problème avec un exo d'élec

j'ai un montage en série qui comprend une résistance R, une inductance L, un générateur E et un interrupteur ouvert K.

L'interrupteur est fermé depuis longtemps. et à t = 0 on ouvre l'interrupteur.

Cet interrupteur ouvert peut être modélisé par un condensateur C = 10pF.
Soit w(t) la tension aux bornes de la coupure.
R = 20 ohm, L = 2 mH, et E = 30 V
donner une expression approché de w(t) :
l'équation différentielle est simple c'est : d²uc/dt² + R/L*duc/dt + 1/LC * uc = E/LC
AN : -2 * 10¹⁴
donc w(t) = (A*cos(10⁷2*t) + B*sin(10⁷2*t)) * e^(-5000*t)

mon problème c'est pour les conditions initiales :
moi je pense que c'est : w(0) = E et dw(o)/dt = 0.
donc je trouve A = E et B = E/(2000*2)

mes CI sont-elles exactes ?

Posté par re : etincelle rupture 08-10-09 à 07:14

Je n'ai pas vérifié tes calculs.

Juste l'info nécessaire sur les conditions intiales pour te permettre de continuer :

Tu as 2 constantes (A et B) à déterminer, il te faut donc 2 conditions initiales pour y arriver.

a) La tension en 0 est bien nulle : w(0) = 0 (1 ère condition initiale)

b) Le courant en t = 0 est E/R = 1,5 A car il ne peut pas varier instantanément à cause de la présence de l'inductance.

I = C.dw/dt
I(0) = 1,5 A (2ème condition initiale)

Donc tu dérives la fonction w(t) que tu as trouvée, tu détermines la fonction I(t) par la relation I(t) = C.dw/dt

Et tu appliques la seconde condition initiale I(0) = 1,5

Tu auras alors 2 équations avec 2 inconnues A et B.

...
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Remarque :
Comme je n'ai pas vérifié tes calculs, je ne connait pas les sens positifs que tu as choisi pour w et pour I, en fonction des sens choisis, il se peut qu'un - soit nécessaire ou non dans la relation liant w et I:
I = C.dw/dt ou bien I = - C.dw/dt
A toi de voir.
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Sauf distraction.

Posté par re : etincelle rupture 08-10-09 à 21:17

Bonsoir,
Pour ma part, j'ai refait les calculs et j'ai la même équation différentielle :
$\frac{d^2U_C}{dt^2}\,+\,\frac{R}{L}\,\frac{dU_C}{dt}\,+\,\frac{U_C}{LC}\,=\,\frac{E}{LC}$
$r^2\,+\,\frac{R}{L}\,r\,+\,\frac{1}{LC}\,=\,\frac{E}{LC}$
La solution sans second membre
$\Delta\,=\,\big(\frac{R}{L}\big)^2\,-\,\frac{4}{LC}$
Et, effectivement : -2.10¹⁴
Les solutions s'écrivent :
$r\,=\,-\frac{R}{2L}\,\pm\,i\,\frac{sqrt{-\Delta}}{2}$
que je vais écrire :
$r\,=\,\alpha\,\pm\,i\,\beta$ pour simplifier l'écriture.
Pour la solution totale, je trouve :
$U_C(t)\,=\,-E\,e^{\alpha t}cos\beta t\,+\,\frac{I_0+\alpha E C}{\beta C}\,e^{\alpha t}sin\beta t\,+\,E$
avec   $I_0\,=\,i(0)\,=\,\frac{3}{2}$
Cette solution respecte les conditions initiales, à savoir :
$U_C(0)\,=\,0$   et   $i(0)\,=\,\frac{3}{2}$
avec   $i(t)\,=\,C\,\frac{dU_C}{dt}$

sauf erreur éventuelle...