Bonjour,

En voilà un sujet intéressant ...

Je suppose que tu ne veux pas que quelqu'un fasse l'exo à ta place alors on va essayer de te "guider" ...

0. Postulat initial

Tout d'abord, les 2 référentiels galiléens étant quelconques on peut admettre que




1. Mouvement rectiligne uniforme de O':

donc   signifie aussi  , donc

de manière symétrique:

signifie    et (ah la ruse!)  

donc



soit


Le système peut donc s'écrire, là je rends visible à nouveau le fait que a_i est fonction de u




Là, un passage un peu délicat: la transformation étant application linéaire (ouf! c'est l'énoncé qui le dit)





2nd passage un peu délicat, l'espace est isotrope donc assure l'invariance lorsque u devient -u

Donc


(dernière ruse, je te laisse deviner pourquoi!)





Et en recombinant:




On peut virer la référence explicite à u:




Je te laisse terminer. on y est presque. La vitesse de la lumière apparait un peu plus loi lorsque tu fixeras
(ce qui est intéressant d'ailleurs c'est que cette vitesse limite est imposée par la transformation.

Le 2) sera ensuite bien plus facile.

N'hésite pas si pbms ou questions.

PS: je ne garantis pas d'éventuelles coquilles ... mais le raisonnement est celui "relativement classiquement"
employé!

Bonjour Admin123,

En terminant l'exo pendant la pause déjeuner pour anticiper d'éventuelles questions j'ai relevé 3 "coquillages"

1 coquille de notation: le a₃ devient a₄
2 fautes de frappes (un x qui manque dans un a₄.x  et un -a₄(u) qui devient -a₄(-u)

Cela permet de tester le lecteur! je suis cependant (un peu) confus

Ce n'est pas grave, je te remercie de ton aide qui m'est je te l'assure très précieuse.

Je suis entrain de comprendre de mode opératoire pour in fine, comprendre l'exercice.

Ta mansuétude me comble! Je reste dispo pour des questions ou des revues de raisonnement ...

Je me permets de te solliciter une deuxième fois : je ne cromprends dans le 1 ce qui tu as écris : que signifie :  u = -\fract ... ?

Merci encore

Admin123

Je vais donc essayer d'être plus explicite:

Le repère (R) se déplace à la vitesse dans (R')

donc  pour l'origine 0   et

Soit (eq.1)

Or de manière générale




Donc au point O




Soit




Donc en reportant dans (eq. 1)



et donc

Est plus clair?

Oui merci, je comprends bien jusque là. Je continue a essayer de comrendre l'exercice ....

Merci encore

Bonjour Perargal et admin123

Je suis actuellement en math sup et cet exercice m'interesse, seulement, je n'arrive pas bien à le comprendre ...

J'ai bien réussit à comprendre que a_1=a_4 mais après je n'arrive pas à comprendre la méthode utilisée.

Lorsque tu as repris l'exo,  tu ne mets pas a1 en fonction de u ? est il important de l'indiquer ?

Serais ce possible Perargal que tu m'indique le chemin, au du moins le début de la suite de cet exercice ?

Cordialement

Lyonnais7896

Bonjour Per ArGal.

Je commence à comprendre ...mais je dois avouer que c'est dûr ...

Je voudrais savoir si il serait possible que je te montre mon propre, si tu veux bien y jeter un coup d'oeuil, car je n'arrive pas à finir la question 1 et je pense que j'ai peut être fais une erreur.

Postulat initial

Les 2 référentiels galiléens étant quelconques on peut admettre que

a1=a1(u)
a2=a2(u)
a3=a3(u)
a4=a4(u)


1. Le mouvement de O' est retiligne uniforme donc:
    x'=0 ce qui équivaut à x-ut=0 donc x' = a1(u)(x-ut)
  
   De même le mouvement de O est retctiligne unfiforme donc :
    x = 0 ce qui équivaut à x'+ut' =0 et donc que u = -x'/t'

Le repère (R) se déplace à la vitesse u (vecteur u) dans (R') donc  pour l'origine 0:

    x'o +ut'=0 ce qui équivaut à u = -x'o/t' (1)

Or de manière générale

x' =a1(u)(x-ut)
t' =a3(u)x0+a4(u)t

docn au point 0:

x'0=a1(u)(xo-ut)
t' = a3(u)x0 +a4t

soit :
x'o = -a1(u)ut
t'o = a4(u)t

En remplaçant ds 1 a1=a4



a1(-u) = a1(u)
a4(-u) = -a4(-u) // je n'ai pas compris cette partie de l'exercice

donc x=a1(u)(x'+ut')
     t = -a4(-u)x' +a1(u)t'


En recombinant :

     x=a1(u)(a1(u)(x-ut)+u(a3(u)+a4t)
or a4=a1
donc x=a1(u)(a1(u)(x-ut)+u(a3(u)+a1t)
et   x=a1(a1(x-ut)+u(a3+a1t)        //pourquoi a ton le droit de supprimer (u) ?

de même
t=-a4(-u)a1(u)(x-ut)+a1(u)(a3(u)x+a1(u)t))
et t=-a4a1(x-ut)+a1(a3x+a1t)) // c'est à partir de là que commence les problèmles pour moi : je ne
                                 vois absolument pas comment aller plus loin, je me suis peut être
                                 trompé quelque part ?


Peut être que ça t'éclaire Lyionnais7896.

Merci à vous tous

Admin123


  

Bonjour

J'essaie brièvement de vous apporter qlq éclaircissement (un peu à la bourre aujourd'hui). Je détaillerai un peu plus dans la soirée si nécessaire:

1er point: notation a₁(u) vs a₁:

Bien sûr que a₁ dépend de u. Je supprime le (u) lorsque pas de confusion possible puis que l'on ait posé a₁(-u) = a₁(u) et a₃(-u) = -a₃(u)
attention ici: dans mon premier développement je m'étais emmêlé les pinceaux en latex et poursuivi le raisonnement an appelant a₄ ce qui était en fait a₃
On a donc bien a₁(-u) = a₁(u) et a₃(-u) = -a₃(u)
Et après ce passage je supprime donc la notation (u) parce qu'il n'y a plus ambiguité!

2eme point justement: pourquoi est ce a₁(-u) = a₁(u) et a₃(-u) = -a₃(u)
Et bien par istropie de l'espace! sachant que le temps lui quel que soit le sens de la vitesse ne fait que croître (d'où le -a₃ ...)

3eme point: comment aller plus loin et conclure sur la question 1


on a donc

x' = a₁(x - u.t)
t' = a₃.x + a₁.t

et

x  = a₁(x' + u.t')
t' = -a₃.x' + a₁.t'

De ce second système vous remplacez x' et t' par leurs valeurs établies dans le système d'équations précédent
Vous arrivez à une égalité liant a₁ et a₃

Vous répondez ainsi à la question 1) telle que formulée

Vous êtes alors prêts à attaquer la question 2 et utiliser le seul point de l'énoncé qui ne l'a pas encore été ... l'invariance de la vitesse de la lumière (à un "moment donné" dans le raisonnement on peut "pressentir" l'existence d'une limite -on abordera sans doute ce point un peu plus tard lors de la mise en équation- mais là on vous dit que "c est invariante")

Ils faut donc calculer les vitesses (dx/dt) et (dx'/dt') dans les 2 référentiels ... puis utiliser la propriété d'invariance de c ... et là ... la lumière se fera ...sans doute ...

A+
  

Hum hum ... perdu du monde en route?

Je prends l'initiative de faire avancer le post:

on a donc




et par ailleurs




En remplaçant dans ce 2nd système x' et t' par leur expression en fonction et x et t rappelées plus haut, on obtient:

   (et même chose pour t)

On a donc fini de répondre à la question 1 avec l'expression de a₃:



Pour la question2) maintenant:

dans le repère R



avec



Pour la lumière

Il me semble que nous sommes tout prête su résultat célèbre



Je me souviens qu'en taupe (il y a 30+ années) cette démo m'avait semblé une vaste fumisterie ...

Il existe cependant d'autres démonstrations qui ne présupposent pas l'invariance de la vitesse de la lumière mais qui la suggère pour arriver à des équations plausibles ...

... A suivre ...



  

Bonjour,

Désolé pour le retard ....

J'ai analysé la fin de l'exercice et je vous remercie très sincèrement pour votre aide, vraiment.

Je fnis de mettre au propre ma copie et je vous tiens au courant de la suite de mon exercice.

Merci encore

Admin123

No soucy, ce fut un plaisir. Je ne saurai trop t'engager à chercher à établir les formules de transformations spéciales de Lorentz sans admettre "brutalement" comme il est demandé de le faire l'invariance de la vitesse de la lumière ...

Pour le faire les étapes sont:

a) considérer un 3ème repère R'' qui se déplace à la vitesse v par rapport à R' et w par rapport à R
b) écrire x'' et t'' en fonction de x et t par composition des changements de référentiels
c) comparer à l'expression 'directe" de x"" et t" en fonction de x et t par la transformation w
d) conclure qu'il existe un constante K telle a3(u) = K.u.a1(u)
e) exprimer a1 en fonction de K
f) conjecturer le signe de K
g) se dire que 1/K qui à la grandeur d'une vitesse est alors une vitesse limite que u ne peut jamais dépasser
h) prouver expérimentalement que c est invariante donc que 1/K = c
i) passer en revue les hypothèses qui ont été nécessaires ...

Bonjour PerArGal,

Jusque à la première partie, tout est ok pour moi, j'ai réussis à tout décortiquer et j'ai bien compris le sujet, mais là, je dois dire que je suis complètement largué. Je suis avec un ami et nous n'arrivons pas à continuer.

Pourrais tu nous aider s'il te plaît.

Je suis vraiment désolé de t'embêter à ce point et je suis géné...

Admin123

No soucy!

Où bloques tu précisément?

Nous bloquons à partir de la recommandation b que tu nous a évoqué ci dessus.

Et je voulais savoir, mais c'est peut être moi qui me trompe, n'y a t-il pas une coquille dans la question 1 :

Vous dîtes que

a3 =   a1²-1/a1u

ce n'est pas plutôt a3= 1-a1²/a1u       ?

Cordialement

Alors ça va bien se passer ...

R'/R (vitesse u):




R''/R' (vitesse v):




Donc en composant les 2:




Or

R''/R c'est aussi (vitesse w):




en identifiant , on obtient:



Soit



Soit finalement

,  

On conclue donc qu'il existe une constante K telle que:

,

Avec, on l'a démontré précédemment, l'égalité




La transformation peut donc s'écrire:




avec   

C'est beau!  

Je te laisse démontrer que  
qui doit t'aider à réfléchir au signe de K, sachant que u et v sont quelconques...

... et aux conséquences sur l'existence d'une vitesse limite...

A suivre!

Dans l'intervalle en appelant K, -K on retombe sur ses pieds ... Il y un moyen je crois d'éditer le source de la page mais je ne sais pas comment faire et je n'ai plus la dernière Newsletter un GM (gentil Modérateur) aux aguets?

Reprenons le raisonnement donc

R'/R (vitesse u):



R''/R' (vitesse v):



Donc en composant les 2:



Or

R''/R c'est aussi (vitesse w):



en identifiant a_1(w), on obtient:



Soit



Soit finalement



On conclut donc qu'il existe une constante K telle que:

,

Avec, on l'a démontré précédemment, l'égalité




La transformation peut donc s'écrire:



avec   

On s'intéresse alors au signe de K ... je te laisse cogiter ...

Avec mes sincères excuses pour cette coquille maltapropos (quand on connait le résultat on est parfois distrait sur les détails) ... je reste à l'écoute pour la discussion sur K et la conclusion...  

Décidement, je crois que je dois être un râté !! ...

Pas de soucis pour la coquille, ton aide m'est très précieuse !!

Allons, allons, ... on s'accroche, les transformations de Poincarré, c'est comme le vélo, on s'en souvient toute sa vie, mais au début c'est dur!  

Alors les points ouverts

1) l'expression de w en fonction de u et v:

Nous avions:



et



Donc:

  (identification du coef de t dans la 1ere eq.)

et

(identification du coef de x dans la 1ere eq.)

Donc



On divise en haut et en bas par :



Avec on s'en souvient:



Donc



Et finalement

(Eq.1)


2) considération sur le signe et la valeur de K

En fonction du résultat que l'on vient d'obtenir et du précédent qui dit:

(Eq.2)

K = 0 nous donne les résultats de la méca classique:


K > 0 n'est pas possible:

(Eq.1) impliquerait que selon les valeurs suffisamment grandes de u > 0 et v > 0 w pourrait être négative à moins que u et v soient bornées par une limite, appelons L cette limite: on a alors



Ce qui conduit à avec K > 0, icohérent!

C'est donc que K ne peut être que négatif!

Et si K est négatif (Eq.2) impose une limite à u: il faut que

Merci beaucoup pour ce raisonnement.

Je dois avouer que je n'aurais pas trouver tout seul, mais ce qui me rassure c'est que je comprends le raisonnement.

Pour finir et déterminer les formules de Lorentz, par quel bout je dois m'y prendre ?

Merci

Cordialement
Admin123

Je ne suis pas sûr de comprendre ta question,

Si on repart de l'énoncé du problème

On te dit que la transformation est du type



Après avoir répondu à la 1ère question tu arrives à une expression de la transformation:




Ensuite dans la 2eme question, ayant pris en compte l'invariance de la vitesse de la lumière, tu as démontré que



Tu obtiens donc bien les formules de Lorentz-Poincarré:



avec,

Si maintenant tu t'affranchis de l'hypothèse vitesse de la lumière invariante

On a vu qu'il existait une borne supérieure pour la vitesse (on a démontré que , où K est une constante négative)

Si on appelle c cette borne supérieure, donc

Et si tu remplaces K par cette valeur dans les expressions ci dessus, tu obtiens les mêmes expressions de la transformation de Lorentz

A noter qu'à ce stade tu n'as pas démontré que c était la vitesse de la lumière ... tu ne peux d'ailleurs pas! Par contre si tu démontres expérimentalement l'invariance de la vitesse de la lumière (d'où ma remarque de l'autre jour), alors la limite que nous avons établie était cette vitesse invariante.

On est bon? Je crois que tu doit rendre ton devoir très bientôt, enfin ... dans un avenir RELATIVEMENT proche

Non ce sujet est à rendre mais il n'est pas noté et il est facultatif, seulement je trouvais important de le comprendre, la preuve en est que cette démonstartion est très difficile.


Si j'ai bien compris, l'est quations de lorentz sont :

x' = a1(x-ut),
y' = y
...
, c'est bien cela ?

Aussi, en relisant l'énoncé du sujet, je ne sais pas mais je crois que a2 n'a pas été exprimé en fonction de a1, est ce normale ?

je me demande aussi quelque chose, au tout début nous écrivons :

1. Le mouvement de O' est retiligne uniforme donc:
x'=0 ce qui équivaut à x-ut=0 donc x' = a1(u)(x-ut)

on suppose alors que

a2(u) = ua1(u), c'est bien cela ? mais si oui pourquoi ai je le droit de le dire ?

Cordialement
Admin123

on pose d'un côté

x' = a1.x + a2.t

et on démontre que

x' = a1.(x - u.t) = a1.x - u.a1.t

qlq soit x et qlq soit t donc a2 = -u.a1!

Les eq. de transformation de Lorentz-Poincarré sont bien:

Merci pour tes nombreuses réponses et aides quim'ont beaucoup aidée au cours de cet exercice à réfléchir et apprendre ...

Je voulais savoir si je pouvais refaire le problème en entier, de manière rédigée et ordonné si ça ne te dérange pas

Cordialement
Admin123

Pas de soucis! Cela fera je crois d'ailleurs beaucoup de bien à ce post d'avoir à la fin, une belle démonstration complète et toute propre .. A toi de jouer!

Postulat initial

Les 2 référentiels galiléens étant quelconques on peut admettre que

a_1=a_1(u)
a_2=a_2(u)
a_3=a_3(u)
a_4=a_4(u)


1. Le mouvement de O' est retiligne uniforme donc:
    x'=0 ce qui équivaut à x-ut=0 donc x' = a_1(u)(x-ut)
  
   De même le mouvement de O est retctiligne unfiforme donc :
    x = 0 ce qui équivaut à x'+ut' =0 et donc que u = -x'/t'

Le repère (R) se déplace à la vitesse u (vecteur u) dans (R') donc  pour l'origine 0:

a_1(-u) = a_1(u)
a_3(-u) = -a_3(u)



on a donc

x' = a_1(x - u.t)
t' = a_3.x + a_1.t

et

x = a_1(x' + u.t')
t = -a_3.x' + a_1.t'

On remplace x' et t' par leurs valeurs établies dans le système d'équations et on obtient



    x'o +ut'=0 ce qui équivaut à u = -x'o/t' (1)

Or de manière générale
x' =a_1(u)(x-ut)
t' =a_3(u)x0+a_4(u)t

docn au point 0:

x'0=a_1(u)(xo-ut)
t' = a_3(u)x0 +a_4t

soit :
x'o = -a_1(u)ut
t'o = a_4(u)t

En remplaçant ds 1 a_1=a_4

Le repère (R) se déplace à la vitesse u (vecteur u) dans (R') donc  pour l'origine 0:

a_1(-u) = a_1(u)
a_3(-u) = -a_3(u)

on a donc

x' = a_1(x - u.t)
t' = a_3.x + a_1.t

et

x = a_1(x' + u.t')
t = -a_3.x' + a_1.t'

On remplace x' et t' par leurs valeurs établies dans le système d'équations et on obtient

a_3=1-a_1²/ua_1

Calcul de a_2 : // partie que je n'ai pas encore traitée

on pose d'un côté

x' = a_1.x + a_2.t

et on démontre que

x' = a_1.(x - u.t) = a_1.x - u.a_1.t

qlq soit x et qlq soit t  a_2 = -u.a_1





2. Dans le repère R :  //je n'ai pas compris cette partie en gras je ne vois pas comment arrivé au résultat pour trouver a_1 … vraiment désolé

dDx/dt = a_1(dx/dt')* (dt'/dt) + (dt'/dt) *a_u

Avec dt'/dt = a -3 dx/dt + a_1

Pour la lumière :
dx/dt = dx'/dt' = c



Le repère R' se déplace à la vitesse u dans le repère R,

On a donc :

x'=a_1(u)(x-ut)
t' = a_3(u)x+a_1(u)t

On considére un repère R'' qui se déplace à la vitesse v dans R', alors

x''=a_1(v)(x-vt)
t' = a_3(v)x+a_1(v)t

En composant les deux :

x'' = [a_1(v)a_1(u) - va_3(u)a_1(v)]x-[a_1(v)a_1(u)u + a_1(v)a_1(u)v]t (2)
t'' = [a_3(v)a_1(u) + a_3(u)a_1(v)]x +[-a_3(v)a_1(u) +a_1(v)a_1(u)]t (2)

Or, le repère R'' se déplace également dans le repère R à la vitesse w :

x''=a_1(w)(x-wt)
t'' = a_3(w)x + a_1(w)t

En identifiant a_1(w), on obtient :

a_1(v)a_1(u) - va_3(u)a_1(v) = -a_3(v)a_1(u)u + a_1(v)a_1(u)

Soit :

va_3(u)a_1(v) = a_3(v)a_1(u)u

soit finalement :

a_3(u)/ua_1(u) = a_3(v)/va_1(v)  (pour tout u, v)

On conclue donc qu'il existe une constante K telle que:

K = a_3/ua_1

Avec, on l'a démontré précédemment, l'égalité

a_3a_1v = a_1²-1

La transformation peut donc s'écrire :
x' = a_1(x - ut)
t' = a_1(t - Kux)

Avec a_1² = 1/1- Ku²

D'après (2), on obtient :

a_1(w)w = a_1(v)a_1(u)u + a_1(v)a_1(u)v

Et :
a_1(w) = a_1(u)a_1(v)  - v a_3(u)a_1(v)

Donc :

w= a_1(v)a_1(u)u + a_1(v)a_1(u)v / a_1(u)a_1(v)  - v a_3(u)a_1(v)
w = u+v / 1-[(va_3(u)/a_1(u))]

Or nous avons définit plus haut que :

K = a_3(u)/ua_1(u) = a_3(v)/va_1(v)  =a_3(w)/wa_1(w)

Et donc que Ku = a_3(u)/a_1(u)

Et finalement :
w = u+v/1-Kuv (3)

Précédemment, nous avons dis que

a_1² = 1/1+ku²

Si K = 0

a_1 = 1
x' = (x-ut)
t' = t

K > 0 n'est pas possible:

(Eq.3) impliquerait que selon les valeurs suffisamment grandes de u > 0 et v > 0 w pourrait être négative à moins que u et v soient bornées par une limite, appelons L cette limite: on a alors

Lim          u+v/1-Kuv = 2L/1-Kl² < L
U,v ==>L

Ce qui conduit à 1< -Kl² avec K > 0, ce qui est incohérent, donc K ne peut être que négatif.

Et si K négatif u² < -1/K

Les équations finales sont donc :
x' = a_1(x-ut)
y' = y
z'=z
t' = a_1(t - ux/c²)
Avec a_1 = 1 / sqrt (1 - u²/c²)

Si quelqu'un voit des erreurs ou coquilles, qu'il n'hésite pas, cela ne fera qu'enrichir ce post pour des prochaines personnes.

Cordialement
Admin123

Bonjour à tous, ceci est une petite correction pour le début de cet exercice
Postulat initial

Les 2 référentiels galiléens étant quelconques on peut admettre que

a_1=a_1(u)
a_2=a_2(u)
a_3=a_3(u)
a_4=a_4(u)


1. Le mouvement de O' est retiligne uniforme donc:
    x'=0 ce qui équivaut à x-ut=0 donc x' = a_1(u)(x-ut)
  
   De même le mouvement de O est retctiligne unfiforme donc :
    x = 0 ce qui équivaut à x'+ut' =0 et donc que u = -x'/t'

Le repère (R) se déplace à la vitesse u (vecteur u) dans (R') donc  pour l'origine 0:


    x'o +ut'=0 ce qui équivaut à u = -x'o/t' (1)

Or de manière générale
x' =a_1(u)(x-ut)
t' =a_3(u)x0+a_4(u)t

docn au point 0:

x'0=a_1(u)(xo-ut)
t' = a_3(u)x0 +a_4t

soit :
x'o = -a_1(u)ut
t'o = a_4(u)t

En remplaçant ds 1 a_1=a_4

Le repère (R) se déplace à la vitesse u (vecteur u) dans (R') donc  pour l'origine 0:

a_1(-u) = a_1(u)
a_3(-u) = -a_3(u)

on a donc

x' = a_1(x - u.t)
t' = a_3.x + a_1.t

et

x = a_1(x' + u.t')
t = -a_3.x' + a_1.t'

On remplace x' et t' par leurs valeurs établies dans le système d'équations et on obtient

a_3=1-a_1²/ua_1

Calcul de a_2 : // partie que je n'ai pas encore traitée

on pose d'un côté

x' = a_1.x + a_2.t

et on démontre que

x' = a_1.(x - u.t) = a_1.x - u.a_1.t

qlq soit x et qlq soit t  a_2 = -u.a_1





2. Dans le repère R :  //je n'ai pas compris cette partie en gras je ne vois pas comment arrivé au résultat pour trouver a_1 … vraiment désolé

dDx/dt = a_1(dx/dt')* (dt'/dt) + (dt'/dt) *a_u

Avec dt'/dt = a -3 dx/dt + a_1

Pour la lumière :
dx/dt = dx'/dt' = c



Le repère R' se déplace à la vitesse u dans le repère R,

On a donc :

x'=a_1(u)(x-ut)
t' = a_3(u)x+a_1(u)t

On considére un repère R'' qui se déplace à la vitesse v dans R', alors

x''=a_1(v)(x-vt)
t' = a_3(v)x+a_1(v)t

En composant les deux :

x'' = [a_1(v)a_1(u) - va_3(u)a_1(v)]x-[a_1(v)a_1(u)u + a_1(v)a_1(u)v]t (2)
t'' = [a_3(v)a_1(u) + a_3(u)a_1(v)]x +[-a_3(v)a_1(u) +a_1(v)a_1(u)]t (2)

Or, le repère R'' se déplace également dans le repère R à la vitesse w :

x''=a_1(w)(x-wt)
t'' = a_3(w)x + a_1(w)t

En identifiant a_1(w), on obtient :

a_1(v)a_1(u) - va_3(u)a_1(v) = -a_3(v)a_1(u)u + a_1(v)a_1(u)

Soit :

va_3(u)a_1(v) = a_3(v)a_1(u)u

soit finalement :

a_3(u)/ua_1(u) = a_3(v)/va_1(v)  (pour tout u, v)

On conclue donc qu'il existe une constante K telle que:

K = a_3/ua_1

Avec, on l'a démontré précédemment, l'égalité

a_3a_1v = a_1²-1

La transformation peut donc s'écrire :
x' = a_1(x - ut)
t' = a_1(t - Kux)

Avec a_1² = 1/1- Ku²

D'après (2), on obtient :

a_1(w)w = a_1(v)a_1(u)u + a_1(v)a_1(u)v

Et :
a_1(w) = a_1(u)a_1(v)  - v a_3(u)a_1(v)

Donc :

w= a_1(v)a_1(u)u + a_1(v)a_1(u)v / a_1(u)a_1(v)  - v a_3(u)a_1(v)
w = u+v / 1-[(va_3(u)/a_1(u))]

Or nous avons définit plus haut que :

K = a_3(u)/ua_1(u) = a_3(v)/va_1(v)  =a_3(w)/wa_1(w)

Et donc que Ku = a_3(u)/a_1(u)

Et finalement :
w = u+v/1-Kuv (3)

Précédemment, nous avons dis que

a_1² = 1/1+ku²

Si K = 0

a_1 = 1
x' = (x-ut)
t' = t

K > 0 n'est pas possible:

(Eq.3) impliquerait que selon les valeurs suffisamment grandes de u > 0 et v > 0 w pourrait être négative à moins que u et v soient bornées par une limite, appelons L cette limite: on a alors

Lim          u+v/1-Kuv = 2L/1-Kl² < L
U,v ==>L

Ce qui conduit à 1< -Kl² avec K > 0, ce qui est incohérent, donc K ne peut être que négatif.

Et si K négatif u² < -1/K

Les équations finales sont donc :
x' = a_1(x-ut)
y' = y
z'=z
t' = a_1(t - ux/c²)
Avec a_1 = 1 / sqrt (1 - u²/c²)

Bonjour Per Ar Gal,

Je voulais savoir si ça ne te dérangerai pas de jeter un petit coup d'oeuil sur l'exercice ?

Cordialement
Admin 123

Suis en train de relire ...

Re-,

Je relève une coquille: R se déplace à la vitesse MOINS U dans R' (c'est R' qui se déplace à la vitesse +u dans R)

Sur la démonstration elle même, je prendrai le temps d'expliquer au début que du fait de l'isotropie de l'espace quelque soit le repère:

a_n(x,y,z,t,u) = a_n(u)

et que par ailleurs, du fait également de l'isotropie

a₁(u) = a₁(-u)
a₃(-u) = -a₃(u)

Comme ça tu as bien fait référence à cette hypothèse forte de l'isotropie et énumérer toutes ses conséquences!


Par ailleurs, en toute fin de démonstration, je crois important de souligner que la constante K est homogène à l'inverse du carré d'une vitesse et que donc, on caractérise cette constante limite non pas par K mais par une autre constante c (qui n'est pas encore la vitesse de la lumière) avec c = -1/K²

Ce qui permet d'établir les formules de la transformation de Lorentz utilisant un "c" célèbre!


Dernière remarque concernant les calculs de vitesses dans R et R' qui te posent encore un peu souci:



Lorsque tu dérives par rapport à la variable t



Ce qui te pose pbm sans doute c'est l'étape suivante qui dit


mais cette égalité n'est rien d'autre que  (f o g)' = (f' o g) x g'

en effet si tu notes g = t'(t) (t' fonction de t)  et f = x'(t') (x' fonction de t')

tu as bien "dérivée de f par rapport à t" [(fog)'] égal à "dérivée de g' par rapport à t" [g'] fois "dérivée de f par rapport à t'" [(f'og)]

Le tout devrait commencer à devenir limpide?

Merci pour ta réponse, j'ai en effet oublié le - u (plutôt vecteur u)

Au niveau de la fin de ton post :

mon problème n'est pas de dériver, mais c'est à partir des élements que tu m'as donné, comment arriver au résiltat final qui dit que

a_1 = 1/sqrt (1-u²/c²).

Mon autre soucis et j'y travaille depuis un petit moment est pour la question n°1, où il fait déterminer a_2 en fonction de a_1.

Je crois surtout que je commence à fatiguer de cet exercice mais bon, je me motive personnelement, j'ai bientôt finis et j'ai appris bcp de choses avec cet exo ...

Merci encore de ton aide

Admin123

Je suis désolé de t'embêter une nouvelle fois et même géné ...

Je n'arrive pas à démontrer a_2 en fonction de a_1 et à démontrer de manière claire et détaillée que a_1 = 1/sqrt(1-u²/c²).

Je voulais savoir si tu pouvais une dernière fois m'aider à répondre à ces deux questions.

Cordialement
Admin123

Conclusion / invariance vitesse lumière

on avait établi







En exprimant maintenant les vitesses dans R' et R




Pour alléger, exprimons dès maintenant l'invariance de la vitesse de la lumière
Pour le rayon lumineux évoqué au tout début les vitesses dans R et R' sont telles que



Les équations précédentes s'expriment alors comme




Soit en combinant (... les équations!)





Et avec


on obtient



On y est presuqe





donc a₁ =

Revenons à la détermination de a₂ (que je croyais acquise )

On a en tout début de démo établi que pour O'



Or, toujours pour O'


avec on l'a vu a1 et a2 qui ne dépendent que de u (et donc pas de x et t)



par identification  

que dire ... je me sens un peu con !, enfin, soyons polis ...

Je comprends, c'est tellement évident ...

Je remets tout cela au propre sur ce forum et pour les prochains qui souhaiteraient y jeter un coup d'oeuil ...

En tout cas, merci pour ton aide, tu es vraiment bon ...

Tu es profs si cela n'est pas indiscret ?

Admin123

Youpi  

1) ne te sens surtout pas idiot: si le raisonnement ne fait pas appel à des outils mathématiques particulièrement complexes, il est tout de même long (voire fastidieux) et on a vite fait de se perdre!

2) Prends le temps de refaire le raisonnement et surtout de t'interroger sur les hypothèses faites aux différents "points chauds"

3) Non, je ne suis pas prof mais adore partager surtout ce que de très vénérables profs ont eu la patience de m'apprendre ... avec une mention spéciales pour les années de "taupe" qui ont été mes plus belles années d'étudiant (NB: à presque 50 ans, j'étudie toujours ...)

N'hésite pas à proposer de nouveaux questionnements sur ce site!

Merci pour ta réponse, c'est vraiment super des gens comme toi...

Bonjour,

Je déterre le post, mais j'ai une question ...

Comment on arrive aux expressions de départ ?

x' = a1x + a2t

t' = a3x + a4t

Je pense avoir compris le reste de la démonstration

Oups ... je savais qu'on ne pouvait en rester là

Alors tout d'abord lorsque l'on se donne 2 référentiels galiléens R et R' munis de repères cartésiens on va rechercher de relations entre les systèmes de coordonnées (x,y,z,t) du type






afin de respecter les caractéristiques d'homogénéité des grandeurs physiques dans l'espace (ie les mêmes propriétés sont applicables en tout point de l'espace et à tout instant)

si l'on y ajoute l'isotropie de l'espace, on conclue tous ces coefficients ne sont fonctions que de la vitesse v.

enfin, si on ajoute l'hypothèse que R' est en translation rectiligne uniforme le long de l'axe des x
les y et z sont modifiés mais pas les x et les t:
donc
De plus les directions Oy/Oy' et Oz/Oz' sont équivalentes dont et

On retrouve bien un système du type de celui proposé par Admin123

Voili, voila, succinctement, comment l'homogénéité et l'isotropie supposées nous amènent aux équations proposées...

Merci !