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Espace-temps statique

Posté par
jean78 27-02-19 à 19:06

Bonjour,

j'aurais une question de relativité générale (cas très simple).

On a un espace-temps statique, avec deux horloges identiques A et B, immobiles dans l'espace et de coordonnées spatiales respectives $x^i=X_A^i$ et $x^i=X_B^i$ .
Toujours dans l'espace, l'horloge A a pour coordonnées $(0,0,0)$ ; de même pour B : $(\Delta x,0,0)$ . Leur rythme est donné par un pendule de période propre $\Delta \tau_{pendule}$ .

On demande l'intervalle $\Delta x_{emission, A}^0$ , l'intervalle en $x^0$ entre l'émission de 2 photons par l'horloge A.

En disant que $ds^2=d\tau_{pendule}^2=g_{00}(X_A^i)(dx^0)^2$ , on a $dx^0(X_A^i)=\frac{d\tau_{pendule}}{\sqrt{g_{00}(X_A^i)}}$ .
Donc $\Delta x_{emission, A}^0=\frac{\Delta \tau_{pendule}}{\sqrt{g_{00}(X_A^i)}}$ .

Je ne comprends pas bien ce que représente cette coordonnée $x^0$ . Pourquoi l'intervalle d'émission de l'horloge n'est pas simplement $\Delta \tau_{pendule}$ ?

Merci d'avance.

Posté par re : Espace-temps statique 27-02-19 à 19:55

Bonsoir,
Dans le système de coordonnées (x)
x^o désigne ici le temps-coordonnée (c'est très souvent le cas en RG)
Ce temps n'a aucune interprétation physique, il ne sert qu'à repérer les évènements dans l'espace-temps (c'est d'ailleurs vrai aussi pour les autres coordonnées)
Il ne correspond a aucun temps propre (sauf cas particulier , comme celui de l'espace Minkowski), a cause de g_oo qui ne vaut plus forcément 1 comme en RR

Posté par re : Espace-temps statique 27-02-19 à 20:00

*comme celui de l'espace- temps de Minkowski

Posté par re : Espace-temps statique 27-02-19 à 21:35

Je te remercie.

Il me vient une autre question : quelle est l'interprétation physique du temps propre en relativité générale ?
$\Delta \tau_{pendule}$ correspond-il seulement au temps que mesurerait un observateur (associé au référentiel du pendule) immobile dans un espace-temps plat ?
Par exemple, si je suis dans un espace-temps courbé (stationnaire) et que je mesure la période du fameux pendule avec mon horloge A, cette dernière me donnera $\Delta \tau_{pendule}$ ou $\Delta x_{emission,A}^0$ ?

Posté par re : Espace-temps statique 27-02-19 à 22:42

La même que dans l'interprétation géométrique de la RR due a Minkowski

L'espace temps est une variété a 4D qui contient tous les évènements de l'univers
Cette variété a une certaine metrique, déterminée (en partie) par les équations d'Einstein en RG (et en RR la variété est simplement l'espace temps de minkowski)

Les corps matériels y suivent des lignes d'univers de genre temps et la durée propre entre deux événements est la "longueur" (au sens de la métrique ) de la portion de ligne d'univers entre ces deux événements
C'est par definition la durée qui serait mesuré par une horloge qui suivrait cette portion de ligne dunivers

Ici _pendule est une durée mesurée par un observateur fixe par rapport au pendule ET juste a côté du pendule
Par ex. Pour une pendule de grand mère on aurait =1s
Pour une horloge atomique dernier cri, = 10^-17s

L'horloge A est un pendule de période _pendule
L'horloge B est un autre pendule ( de même période)

C'est comme ça que je comprends la situation