Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île de la physique - chimie Forum de physique - chimieListe de tous les forums de physique - chimie SupérieurOn parle exclusivement de physique/chimie, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... MasterForum Supérieur de master PhysiqueTopics traitant de Physique [tout]Lister tous les topics de physique - chimie
Niveau master
Partager :

Equation différientielles (Equation de beteman)

Posté par
Hak22 08-09-13 à 21:57

Bonsoir,

Voila j'aurais aimé savoir comment on passe de cette equation différentiel du 1ere ordre a second membre constant:
   \frac{ dN2}{dt } + \lambda2 N2 = \lambda1 N1 e-\lambda t

A ça : N2(t) = N1 \frac{ \lambda 1}{\lambda 2 - \lambda 1} ( e\lambda 1 t- e\lambda 2 t)

(Ce doit etre résolu pas la méthode de variation de la constante)

Merci encore.

Posté par
Moustikipicre : Equation différientielles (Equation de beteman) 08-09-13 à 22:26

Bonsoir,
j'ai du mal à identifier les constantes et les fonctions dans tes équations...

Posté par
PerArGalre : Equation différientielles (Equation de beteman) 09-09-13 à 12:18

Bonjour

S'il s'agit d'une équation de filiation à 2 corps radioactifs,  N1 et N2 sont les population de corps 1 et 2 fonctions de la variable t, 1 et 2 des constantes.

Il s'agit d'ailleurs de Harry Bateman ... qui était loin d'être bête!

Et du coup le second membre est loin d'être constant, mais c'est pas grave, l'équation différentielle se résoud de la même façon.

Moustikipic, je te repasse la main ...

Posté par
Moustikipicre : Equation différientielles (Equation de beteman) 09-09-13 à 14:44

Héhé c'est bate parce que j'ai bloqué là...
Après avoir résolu l'équation sans second membre et fait varier la constante, je remplace l'expression trouvée de N2 dans l'équation avec second membre et là...
Je n'arrive pas à intégrer l'équa diff après simplification (puisqu'elle contient N1 dont je ne connais pas l'expression...)
PerArGal tu peux nous éclairer ?

Posté par
Hak22re : Equation différientielles (Equation de beteman) 09-09-13 à 16:57

Désolé pour la faute de frappe dans le nom de Bateman

Et c'est bien à second membre non constant.

Posté par
PerArGalre : Equation différientielles (Equation de beteman) 09-09-13 à 19:47

Alors:

L'équation homogène est:  \frac{dN_2}{dt} + \lambda_2 N_2 = 0   (Eq. 1)

Sa solution générale est N_2= k.e^{-\lambda_2t}, avec k constante dans

Pour trouver une solution de l'équation avec 2nd membre on fait "varier cette constante" et on cherche à résoudre:

\frac{dN_2}{dt} + \lambda_2 N_2 = \lambda_1 N_1 e^{-\lambda_1 t}   (Eq. 2)

Avec N_2= k(t).e^{-\lambda_2t},  

Cela nous donne en injectant dans  (Eq. 2)

\frac{dk}{dt}e^{-\lambda_2t} = \lambda_1 N_1 e^{-\lambda_1 t}

Soit

\frac{dk}{dt} = \lambda_1 N_1 e^{(\lambda_2-\lambda_1) t}

Soit

k = \frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1} N_1 e^{(\lambda_2-\lambda_1) t} + k', avec k' constante dans qui sera déterminée par les conditions initiales (ou pas!)


Et donc ...
N_2= (\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1} N_1 e^{(\lambda_2-\lambda_1) t} + k')e^{-\lambda_2t},

Là je sors de mon chapeau qu'à t=0  on a   N_2 = 0   (là on est à nouveau dans le contexte de la désintégration de 1 qui entraine la formation de 2 qui se désintègre ...)

Donc   k' = -\frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1} N_1

Et doonc

On arrive à

N_2= \frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1}N_1( e^{-\lambda_1t} - e^{-\lambda_2t})

On est bon?   Si oui tapez   Si non tapez ... ou bien

Posté par
Moustikipicre : Equation différientielles (Equation de beteman) 09-09-13 à 20:51

Ben je dirais

Citation :

dk/dt =  1.N1.e(2-1).t

Soit

k = 1/(2-1).N1. e(2-1).t + k'


Tu supposes bien que N1 soit constant lors de cette étape alors qu'au départ il ne l'était pas ? kesako ???

Posté par
PerArGalre : Equation différientielles (Equation de beteman) 10-09-13 à 06:48

Euh ... En fait tu auras remarqué que j'ai sorti plusieurs trucs de mon chapeau:

- les conditions initiales
- le changement de \lambda en \lambda_1
- un changement de + en -
Et il est vrai que j'aurai du également écrire  N_1 = N_0exp^{-\lambda_1t} La population N_1 est bien variable avec une valeur initiale N_0

Hak22, je n'ai pas trop maltraité tes équations de départ? Ou bien en ai je altéré le sens? Ce que pour arriver au résultats demandés je sui près à presque tout

Posté par
Hak22re : Equation différientielles (Equation de beteman) 10-09-13 à 16:39

Peux tu détailler le calcul pour passer de ça à ça :

\frac{dk}{dt} = \lambda_1 N_1 e^{(\lambda_2-\lambda_1) t}

Soit

k = \frac{\lambda_1}{\lambda_2-\lambda_1} N_1 e^{(\lambda_2-\lambda_1) t} + k', avec k' constante dans  qui sera déterminée par les conditions initiales (ou pas!)




Pour le reste tout colle car mon equation de départ est : \frac{dN_2}{dt} + \lambda_2 N_2 = \lambda_1 N_0 e^{-\lambda_1 t}   (Eq. 2)

Et donc N0 est bien constant (toujours)

- le changement de \lambda en \lambda_1  est également juste

-Par contre je n'ai pas vu le changement du + en -??

Merci encore.

Posté par
PerArGalre : Equation différientielles (Equation de beteman) 10-09-13 à 17:39

Coucou!

Alors:

Le + en - c'est juste dans l'expression finale de N_1 où je donne une solution en ( e^{-\lambda_1t} - e^{-\lambda_2t}) là où tu écrivais ( e^{+\lambda_1t} - e^{+\lambda_2t})

Le passage que te poses (pour pas longtemps) un petit pbm:

On a \frac{dk}{dt} = \lambda_1 N_1 e^{(\lambda_2-\lambda_1) t}  

Or parmi les primitives "usuelles" on trouve

\int e^{\alpha x}dx = \frac{1}{\alpha} e^{\alpha x} primitive déterminée à une cste près ...

On est bon?

Posté par
Hak22re : Equation différientielles (Equation de beteman) 10-09-13 à 18:35

Parfait Merci encore beaucoup

Dernière question : aurait tu une source de cours qui explique comment résoudre les équation différentielles du 1er ordre et du 2eme ordre? Car j'ai débuté un master de physique cette année et n'ayant pas un profil mathématique derrière moi j'ai un peu de mal...

Merci.

Posté par
PerArGalre : Equation différientielles (Equation de beteman) 10-09-13 à 18:54

Pas de soucis ...

Concernant ta "colle" ... as tu jeté un œil sur les fiches de "L'île des Maths"?  La physique étant grande consommatrice d'équa diff, tu as raison de vouloir étoffer ton savoir dans ce domaine. N'étant cependant pas certain que la recommandation d'ouvrages de références soit compatible avec la déontologie de ce forum, envoie moi un email en cliquant sur mon profil ... nous pourrons échanger sur le sujet


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île
Mentions légales - Retrouvez cette page sur l'île de la physique - chimie
© digiSchool 2025

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !