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équation différentielle d'un circuit, oscillations sinusoidales
Bonjour,
on a une équation différentielle qui régit le courant Ie traversant une résistance R.
Cette équation diff. est: d²Ie/dt² +(R-Re)1/L *dIe/dt + 1/LC*Ie=0.
On demande: à quelle condition le montage est-il le siège d'oscillations purement sinusoidales.
Que vaut alors fc la fréquence d'oscillation ?
je ne comprend pas pourquoi on a des oscillations purement sinusoidales si R=Re donc si d²Ie/dt²+1/LC*Ie=0 ?
et pourquoi alors w²=1/LC ?donc fc=wc/2pi.
Merci.
Tu pourrais joindre le schéma du circuit ? Comme ça là, j'ai un peu de mal à comprendre ce qui se passe...
Il suffit de calculer le discriminant de l'équation caractéristique:
qui permet de répondre à tes deux questions...
L'équation caractéristique est : y² + y.(R-Re)1/L + 1/(LC) = 0
y = [-(R-Re)/L +/- ((R-Re)²/L² - 4/(LC))^(1/2)] / 2
La réponse est osillatoire si ((R-Re)²/L² - 4/(LC)) < 0
on a dans ce cas: y = -(R-Re)/(2L) +/- i.racinecarrée(1/(LC) - (R-Re)²/(4L²))
Avec wo = racinecarrée(1/(LC) - (R-Re)²/(4L²) et tau = 2L/(R-Re), on a alors :
ie(t) = e^(-t/tau) * (A.sin(wo(t) + Phi))
A et Phi étant des constantes dépendant des conditions initiales.
On remarque donc que ie(t) est une sinusoïde amortie (par le facteur e^(-t/tau))
Si on veut que la sinusoïde ne soit pas amortie, il faut que "tau" soit infini --> il faut que R = Re.
Dans ce cas (R = Re), on a alors : wo = racinecarrée(1/(LC) - (R-Re)²/(4L²) = racinecarrée(1/(LC))
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Donc l'équation différentielle d²Ie/dt² +(R-Re)1/L *dIe/dt + 1/LC*Ie=0 conduit à une osillation purement sinusoïdale si
R = Re. La pulsation de l'oscillation est alors wo = racinecarrée(1/(LC))
Et l'équation différentielle devient : d²Ie/dt² + 1/LC*Ie=0
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Sauf distraction. 
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