A.cos(wt + Phi) = A.cos(wt).cos(Phi) - A.sin(wt).sin(Phi)

En posant  A.cos(Phi) = A' et A.sin(Phi) = B', il vent :

A.cos(Phi) = A'.cos(wt) + B'.sin(wt)

Quelques calculs permettent se trouver les valeurs de A' et de B' en fonction de A et Phi ...

On peut donc écrire comme solution de l'équation homogène (rien à voir avec une solution particulière) , aussi bien yo = A'.cos(wt) + B'.sin(wt) que yo = A.cos(wt + Phi)

Les conditions initiales permettrons, en fin de résolution de trouver les valeurs soit de A' et B' , soit de A et Phi.

Sauf distraction.  

J ai encore un peu du mal a comprendre: l equation caracteristique  associee a l equation homogene a un delta < 0.alors elle admet 2 racines complexes et la solution homogene devrait avoir cette forme: e^alpha (t)(A cos (beta)t+ B sin (beta)t) .comme alpha=0 et beta=w,alors y_0= A cos wt + B sin wt. je ne vois toujours pas comment le sinus peut disparaitre
Cordialement.

Le sinus ne disparait pas ... il est caché.

Je corrige ma faute de recopie :
-----
A.cos(wt + Phi) = A.cos(wt).cos(Phi) - A.sin(wt).sin(Phi)

En posant A.cos(Phi) = A' et A.sin(Phi) = B', il vent :

A.cos(wt + Phi) = A'.cos(wt) + B'.sin(wt)

L'écriture A.cos(wt + Phi) est équivalente à l'écriture A'.cos(wt) + B'.sin(wt) dans laquelle on a : A² = A'² + B'²
et cos(Phi) = A'/A et sin(Phi) = B'/A

On peut donc retrouver A et Phi en connaissant A' et B' ou bien, on peut retrouver A' et B' en connaissant A et Phi.
Et ceci à partir des conditions initiales.
-----

Je pense que  A.cos(wt + Phi) = A'.cos(wt) - B'.sin(wt)
et la solution particuliere est de la forme y_p=A cos wt +  B sin wt

Bonjour

Un petit complément au message précédent :
La solution de l'équation homogène s'écrit au choix :

   ou  
La solution particulière est la solution correspondant au régime permanent. Elle correspond donc à y"=0, ce qui conduit à :


ce qui doit se simplifier compte tenu de l'expression de .

Je ne vois pas la différence entre ce que j'affirme, soit qu'on peut écrire

A.cos(wt + Phi) = A'.cos(wt) + B'.sin(wt)

et ce qu'affirme vanoise dans son message du 05-08-16 à 15:57

Les solutions de l'équation sans second membre (comme on le dit erronément) peuvent s'ecrire soit : yo = A.cos(wt + Phi), soit yo = A'.cos(wt) + B'.sin(wt)

... Auxquelles on doit ajouter une solution particulière de l'équation différentielle de départ pour avoir les solutions générales. (solution particulière qui ici est immédiate à trouver).

Certes, il manque un "-" perdu dans la rédaction dans mon réponse précédente, mais c'était évident.
****
J'eus du écrire :

A.cos(wt + Phi) = A.cos(wt).cos(Phi) - A.sin(wt).sin(Phi)

En posant A.cos(Phi) = A' et -A.sin(Phi) = B', il vent :

A.cos(wt + Phi) = A'.cos(wt) + B'.sin(wt)

L'écriture A.cos(wt + Phi) est équivalente à l'écriture A'.cos(wt) + B'.sin(wt) dans laquelle on a : A² = A'² + B'²
et cos(Phi) = A'/A et sin(Phi) = -B'/A

Sauf nouvelle erreur de distraction ou de recopie.

Merci beaucoup pour vos reponses.alors si je comprends bien      pour chercher la solution particuliere il faut eliminer y"?d apres mon cours la forme de la solution particuliere s ecrit: y=A(x) y_1 + B(x) y_2, avec y1 et y2 des solutions de l equation homogene.mais elle ne depend pas de la solution homogene?
Cordialement.

Pour trouver une solution particulière, il existe de multiples manières.

Dans ce cas-ci, on peut en trouver une directement.

Dans certains autres cas, cela peut parfois être très laborieux ...
Une méthode pour en trouver une est par la variation des constantes (comme ce que tu proposes)

Rien n'empêche de partir de  y = A'(t).cos(wt) + B'(t).sin(wt) et de chercher à trouver des expression de A'(t) et B'(t) qui font que cela colle.
Mais c'est laborieux et inutile dans ce cas-ci.

Par exemple B'(t) = 0 et A'(t) = qE/(mw².sin(wt)) conviendraient ... mais pour les déterminer c'est inutilement compliqué.

Toutes imprécisions de langage incluses.

Merci infiniment pour votre aide