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Equation différentielle
Bonsoir à tous,
J'ai besoin d'aide pour déterminer la solution d'une équation différentielle:
Voici l'énoncé:
Un bassin contient V0 = 100 L d'eau salée. La masse totale de sel initialement dans le bassin est M0 = 10 kg.
Le rinçage de ce bassin est effectué en y faisant circuler de l'eau pure : arrivée et évacuation à débit identique de Q = 10 L.min−1 . L'homogénéisation du contenu du bassin est assurée de façon permanente et instantanée par un mélangeur : voir schéma ci-contre.
Le temps t = 0 est fixé au commencement du rinçage. Donner la solution de l'équation : dM(t)/dt = (-Q/v0)M(t)
Qu'elle forme prend la solution de cette équation SVP ??
Je vous remercie d'avance
Normalement une solution d'une équation de ce type devrait avoir la forme:
M(t)=Ke-
t
Mais je ne vois pas comment faire dans ce cas !?
La vitesse d'évacuation de la masse de sel est proportionnelle à la masse (M) de sel dans l'eau
---> dM/dt = - k.M
dM/dt(0) = - Q * Mo/Vo
- Q * Mo/Vo = -k.Mo
k = Q/Vo
dM/dt = - (Q/Vo).M
M(t) = Mo.e^(-Q.t/Vo)
M(t) = 10.e^(-0,1.t)
Avec t en min et M en kg
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Sauf distraction. 
Merci pour cette réponse claire !
J'aurais juste une dernière question portant également sur cet énoncé :
- Déterminer le temps caractéristique de décroissance τ de la masse de sel présente dans le bassin en fonction des paramètres du problème
Je ne comprends pas vraiment la question, par quoi peut on définir le temps caractéristique de décroissance ??
Bonsoir,
A quoi correspond k ici ?
Comment déduire l'équation différentielle :
dM(t)/dt = -Q/Vo * M(t) ??
Merci
La vitesse d'évacuation de la masse de sel est proportionnelle à la masse (M) de sel dans l'eau
---> dM/dt = - k.M
k est une constante dont on doit trouver la valeur.
Si sur une petit intervalle de temps Delta t, on amène un petit volume Delta V d'eau pure dans le réservoir, il y a une même petit volume d'eau salée qui est vidangée.
Si la masse de sel présente dans le réservoir était de M, la vidange ci dessus va évacuer une masse de sel égale à M * Delta V / Vo
On a donc Delta M = - M * Delta V / Vo
On divise les 2 membres par Delta t :
Delta M/Delta t = - M/Vo * Delta V/Delta t
Comme Delta T est très petit, Delta M et Delta V aussi et donc, on a:
dM/dt = - M/Vo * dV/dt
Mais dV/dt est le débit Q et donc :
dM/dt = - M/Vo * Q
dM/dt = - (Q/Vo).M
Et la condition initiale est bien entendu que M(0) = Mo
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La résolution de l'équation différentielle dM/dt = - (Q/Vo).M donne :
M(t) = C.e^(-(Q/Vo).t)
Et compte tenu de la condition initiale : M(0) = Mo, on a :
Mo = C * e^0 = C
---> M(t) = Mo.e^(-(Q/Vo).t)
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Sauf distraction.
bonsoir et comment peut on savoir le temps que met la masse de sel dans les 100l d'eau pour arrivé a 0.1g/l^-1 faut-il utilisé la formule S(t)-S(t+dt)/dt
bonsoir et comment peut on savoir le temps que met la masse de sel dans les 100l d'eau pour arrivé a 0.1g/l^-1
N'est-ce pas évident ?
M(t) = Mo.e^(-(Q/Vo).t)
M(t) = 10.e^(-0,1.t)
0,1 g/L avec 100 Litres d'eau ---> M = 10 g
alors que Mo = 10 kg
10.10^-3 = 10 * e^(-0,1.t1)
(avec t1 le temps que met la masse de sel dans les 100 L d'eau pour arriver à 0.1g/l^-1
--> t1 = ... min
Sauf distraction.
t) - M(t)= -(M(t)/Vo) *Q 
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