Z = pL + R + R/(1+pRC)
Z = (pL + 2R + p²LRC + pR²C)/(1+pRC)
Z = (p²LRC + p(L+R²C) + 2R)/(1+pRC)

E/i = Z
E/i = (p²LRC + p(L+R²C) + 2R)/(1+pRC)

LRC.d²t
d²i/dt² + (L+R²C).di/dt + 2R.i = E + RC dE/dt
LRC.d²i/dt² + (L+R²C).di/dt + 2R.i = E
d²i/dt² + [(L+R²C)/(LRC)].di/dt + (2/(LC)).i = E/(RLC)
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Reste à voir si on t'a enseigné cette méthode.

Sauf distraction, vérifie.  

Pardon, mais je ne vois pas à quoi correspond "Z"
Hélàs on ne m'a jamais enseigné cette méthode.
Je pensais qu'en utilisant la loi des mailles ou des nœuds on pouvait s'en sortir mais je n'y arrive pas  

quelqu'un pourrait-il m'aiguillonner ?

Pas t'aiguillonner mais plutôt t'aiguiller.



E - L di/dt - Ri - u = 0

u = E - L di/dt - Ri (1)

En dérivant (1), on obtient :

du/dt = -L.d²i/dt² - R.di/dt (2)
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i = i1 + i2

i1 = u/R
i2 = C.du/dt

--> i = u/R + C.du/dt

Avec (1) et (2), on a alors :

i = (E - L di/dt - Ri)/R + C.(-L.d²i/dt² - R.di/dt)

i = E/R - (L/R) di/dt - i - LC d²i/dt² - RC di/dt

2i = E/R - ((L/R) + RC) di/dt - LC d²i/dt²

LC d²i/dt² + ((L/R) + RC) di/dt + 2i = E/R

d²i/dt² + ((L/R) + RC)/(LC) di/dt + 2i/(LC) = E/(RLC)

d²i/dt² + [(L + R²C)/(RLC)] di/dt + (2/(LC)).i = E/(RLC)
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Sauf distraction.  

merci beaucoup J'ai tout compris
J'ai pu continué l'exercice; Pourriez-vous me dire si ce que j'ai fait est juste

1) Ainsi on devait trouver une équation de la forme
[b]E/(RLC)= (d^2i/d^2t)+ 2y(di/dt)+ wo^*wo*i[/b avec y et wo à déterminer

Donc avec d²i/dt² + [(L + R²C)/(RLC)] di/dt + (2/(LC)).i = E/(RLC), on trouve que

wo= (2)/(LC)

y= (L+R*R*C)/(2RCL)

Ensuite, on demande:

2) déterminer le facteur de qualité Q puis en posant RC= et RC=L/R, donnez l'expression de wo, y et Q.

On a Q= (L/R)* wo par définition donc Q= (L/R)* (2)/(LC)

Donc Q=*(2)/(LC)

Ensuite: wo= (2)/(LC)
Je ne pense pas que lon puisse transfomer son écriture en fonction de

Puis y=(L+R*R*C)/(2RCL)
Donc y= 1/(2)+ /(2LC)

3) On me demande alors combien faut-il de conditions initiales pour résoudre entièrement l'équation ? Donner la valeur de chacune des conditions initiales trouvées.

J'ai répondu qu'il fallait 2 conditions initiale: la valeur de i à t=o quand l'interrupteur et ouvert et di/dt à t=0
Soit i=0 à t=0 car interrrupteur ouvert et di/dt =0 par continuité du courant imposée par la bobine

4) Résoudre l'équation différentielle à la condition RC=L/R
Soit  on a y= 1/(2)+ /(2LC) avec =RC
        donc 2y=1/()+ /(LC)
             wo*wo= 2/LC;

On sait que l'équation est de type :
[b]E/(RLC)= (d^2i/d^2t)+ 2y(di/dt)+ wo^*wo*i[/b
Donc on remplace
on trouve:E/(RLC)= (d^2i/d^2t)+ [1/()+ /(LC)](di/dt)+ (2/LC)*i.

Je n'ai plus qu'à résoudre cette équation comme en maths n'est-ce pas et à faire des disjonctions de cas avec discriminant positif ou négatif ou nul ?

J'ai à nouveau un problème en ce qui concerne discriminant  du polynôme caractéristique associé à l'équation homogène.
L'équation homogène est
X^2+ [1/()+ /(LC)] X+ (2/LC)=0
je calcule le discriminant et je trouve:
d= (LC+^2-8)/ (*LC)
le signe du discrimant va donc dépendre du numérateur
On sait que =RC

On peut transformer l'écriture du numérateur:
on trouve (LC+^2-8)= (LC+(RC)^2-8RC)
Or RC=L/R donc (LC+(RC)^2-8RC)= L(C+(L/R^2)-8/R)

Et voila je me posais la question de savoir si je ne devais pas considérer le discriminant toujours négatif pour me placer dans un régime pseudo-périodique ?

D'autant plus que la question suivante est de tracer l'allure de i (sous-entendu il n'y en qu'une seule) alors que si je fais une disjonction de cas j'aurais 3 courbes

Je n'ai pas vérifié tout ce que tu as écrit.

J'ai cependant repéré une erreur pour une des conditions initiales.

(di/dt)(0) = E/L et pas 0 comme tu l'as écrit.
En effet, en t = 0, La tension sur L est E et pas 0 et don ...
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Je n'ai rien regardé avec le Q et le wo et j'ai traité directement le cas de RC = L/R sans introduire Q et wo et tau (mais tu devrais toi le faire puisque c'est demandé).


Avec RC=L/R, l'équation d²i/dt² + [(L + R²C)/(RLC)] di/dt + (2/(LC)).i = E/(RLC) devient :


d²i/dt² + (2/(RC)) di/dt + (2/(R²C²)) i = E/(R³C²)

p = -1/(RC) +/- V[(1/(R²C²) - 2/(R²C²)]

i(t) = e^(-t/(RC).(A.cos(t/(RC)) + B.sin(t/(RC)) + E/(2R)

i(0) = 0 --> A = -E/(2R)

(di/dt)(0) = E/L

-A/(RC) + B/(RC) = E/(R²C)
-A + B = E/R
B = E/R -E/(2R)
B = E/(2R)

i(t) =  [E/(2R)] * [1 - e^(-t/(RC).(cos(t/(RC)) - sin(t/RC))]

C'est cette courbe dont il faut dessiner l'allure...
Pas de question donc à se poser sur le discriminant...
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Je n'ai rien vérifié.  

J'ai à nouveau un problème j'ai oublié de prendre en compte que le condensateur est initialement déchargé donc je ne sais pas is cela change quelque chose mais il me semble que oui parce que à ce moment i2 initialement établie vaut 0 non ?

En y réeflechissant, cela ne change rien aux équations établies pour tout instant pardonnez-moi