Niveau licence

équation différentielle

Posté par
thsma 27-09-08 à 18:25

Bonjour,

J'ai des problèmes pour cet exercice de physique sur les équations différentielles. J'espère que vous pourrez m'aider.

Une masse m tombe en chute libre dans l'air avec les conditions initiales suivantes :
z(t=0) = z₀
.
z(t=0) = v₀
où z(t) représente l'altitude de la masse m à l'instant t.
La résistance de l'air induit une résistance de frottement sur la masse m du type :
->        .  ->
f = -z(t)k
Nous verrons que l'application RFD conduit à l'équation différentielle :
..             .
z(t)+/m z(t)=g   (1)
où g est la constante de gravitation.

Un théorème important que vous verrez en mathématiques, nous apprend que la solution la plus générale d'une équation différentielle avec second membre constant est la somme d'une solution particulière de cette équation et de la solution la plus générale de la même équation différentielle sans second membre.

1) Ecrire l'équation différentielle sans second membre associé à l'équation (1).

J'ai fait :
..             .
z(t)+/m z(t)= 0.

2) Trouver sa solution la plus générale en utilisant la méthode du polynôme caractéristique.

J'arrive à e^rt(r²+/m) = 0
donc r²+/m = 0 Mais là on peut pas calculer le discriminant, si ?

3) Montrer que la fonction h(t) = mg t est une solution particulière de l'équation (1).


4) A l'aide du théorème exposé ci-dessus, écrire la solution la plus générale de l'équation (1).

5) Trouver la solution tenant compte des conditions initiales.

Merci à tous ceux qui pourront m'aider à résoudre cet exercice.

Posté par re : équation différentielle 28-09-08 à 08:16

Note : Il m'a fallu 10 minutes à comprendre ce que représentaient tes points sur la ligne du dessus ^^ Utilise le langage Latex pour représenter des dérivées, ou bien l'écriture dz/dt et d²z/dt² ce qui facilite la lecture sur un forum.

Je ne sais pas comment on t'as appris à résoudre ton équation différentielle, mais je ne trouve pas pareil que toi...

Je te fais la résolution de cette équation différentiel de la même façon qu'on me le demande ; après, tu verras si ça te conviens ^^"

----------
* (1) est une équation différentielle de deuxième ordre à coefficient constant, c'est-à-dire que toute combinaison linéaire de solution est aussi solution.

* L'équation différentielle peut se ramener à une équation différentielle sans second membre, dite homogène [...] notée (H) : $\frac{d^2z}{dt^2} + \frac{\lambda}{m} \frac{dz}{dt} = 0$ .

* On cherche une solution de la forme : $Cte \times e^{rt}$ ; d'où (H) donne : $(r^2+\frac{\lambda r}{m})e^{rt}=0$

*D'où l'équation caractéristique : $r^2+\frac{\lambda r}{m}=0$
(Ton erreur consiste à ne pas avoir dérivé la seconde exponentielle qui en se dérivant une fois donne le r ; en gros : tu remplaces les dérivées secondes par des r² et les dérivées premières par des r (et les non dérivées par 1) pour obtenir l'équation caractéristique).

* Les solutions de $r^2+\frac{\lambda r}{m}=0$ sont $r_1=0 et r_2=-\frac{\lambda}{m}$

* La solution générale de l'équation différentielle se met alors sous la forme suivant :
$z(t) = Ae^{r_1t} + Be^{r_2t} = A + Be^{-\frac{\lambda t}{m}}$
(A et B étant des constantes éventuellement complexes (en fonction du signe du discriminant, ici étant positif, car on admet deux racines réelles distinctes, A et B sont réels).

etc.

Posté par re : équation différentielle 28-09-08 à 12:54

Merci awnorus.

Désole pour les dérivées mais je n'arrive pas à utiliser le latex.

Pour la question 2), j'ai mal recopié mon résultat, j'ai oublié le r, c'est surtout que je n'arrivais pas à trouver les solutions du polynôme.

Pour la question 3), je dois dériver z(t) = (mg)/ t deux fois.
Je n'arrive pas à trouver la dérivée.

Peux-tu m'aider ?

Posté par re : équation différentielle 28-09-08 à 14:45

Pour le latex, tu as une aide à cette adresse : [lien]
Tu as un raccourci en haut dans la barre horizontale de menu représentée avec le symbole $\sum$

$z(t) = \frac{mg}{\lambda}t$

On dérive une première fois :
$\frac{dz}{dt} = \frac{mg}{\lambda}$
Une seconde fois :
$\frac{d^2z}{dt^2} = 0$

Je me suis contenté de dériver deux fois ton équation, je n'ai pas vérifié que celle-ci était la bonne.
P.S. : les calculatrices peuvent facilement dérivée des expressions si elles disposent du programme adéquat, mais il faut savoir le faire ; indispensable pour tes partielles.

Posté par re : équation différentielle 28-09-08 à 14:50

Merci pour ton aide.

Pour les partielles, calculatrice interdite !

Posté par re : équation différentielle 28-09-08 à 15:09

Je sais que les calculatrices sont interdites, c'est pour ça qu'il faut savoir le faire ^^

La calculatrice n'a pour utilité que reproduire ce que fait notre cerveau, pas le remplacer ^^"

Aller, bon courage

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

équation différentielle

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique