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équation différentiel - concentration d une solution
salut
j'ai ce problème à résoudre et je voudrais être un peu guider...
Un réservoir contient initialement Q0 kg de sel dissous dans V litres d'eau. Ce réservoir est alimenté par un robinet qui fournit à un débit de Ve litres par minute une solutionn contenant Qe kg de sel par litre. Un autre robinet au bas du réservoir laisse l'eau s'échapper à un débit de Vs litre par minutes.
Q(t) la quantité de sel dans le réservoir au temps t en kg.
Q(0) = Q0 et dQ / Dt = entrée - sortie
entrée = débit entrant * concentration donc:
Qe * Ve
sortie = concentration actuel * débit sortant donc:
Q/V * Vs
Un réservoir de 800 litres est rempli d'eau salée conenant initalement 50kg de sel. On y déverse une solution conenant 400 grammes de sel par litre d'eau à un rythme de 8 litres par minute. Simultanément le mélange s'échappe au même débit, 8 litres par minutes.
1 - Combien de kg de sel sont-t'il présent dans le réservoir au temps t?
2 - A la limite (très long temps), quelle sera la quantité de sel dans le réservoir?
3 - Combien de temps cela prend-t'il pour que le réservoir contienne 95% de sa quantité limite?
je sais pas trop comment répondre à la 1 pour trouver la formule...
un petit début:
Q(0)=Q0 donc 50kg
800litre * .4 = 320
Qe=.4 kg/l
Ve=8 l/min
Vs=8 l/min
V=800litre
merci de m'aider
1)
dQ/dt = Qe.Ve - Q.Vs/V
dQ/dt + Q.Vs/V = Qe.Ve.
---
Solutions de l'équation avec le second membre = 0:
dQ/dt + Q.Vs/V = 0
Q = A.e^(-(Vs/V).t)
---
Solution particulière de l'équation avec second membre: Q = Qe.Ve.V/Vs
---
Solutions générales de l'équation dQ/dt + Q.Vs/V = Qe.Ve :
Q(t) = Qe.Ve.V/Vs + A.e^(-(Vs/V).t)
Comme en t = 0, on a Q = Qo ->
Qo = Qe.Ve.V/Vs + A
A = Qo - (Qe.Ve.V/Vs)
Finalement, il vient:
Q(t) = Qe.Ve.V/Vs + [Qo - (Qe.Ve.V/Vs)].e^(-(Vs/V).t)
-----
2)
lim(t->oo) Q(t) = Qe.Ve.V/Vs
-----
3)
0,95.Qe.Ve.V/Vs = Qe.Ve.V/Vs + [Qo - (Qe.Ve.V/Vs)].e^(-(Vs/V).t)
e^(-(Vs/V).t) = -(0,05.Qe.Ve.V/Vs)/(Qo - (Qe.Ve.V/Vs))
-(Vs/V).t = ln[-(0,05.Qe.Ve.V/Vs)/(Qo - (Qe.Ve.V/Vs))]
t = -(v/Vs).ln[-(0,05.Qe.Ve.V/Vs)/(Qo - (Qe.Ve.V/Vs))]
----------
Qe.Ve.V/Vs = 0,4*8*800/8 = 320 kg
lim(t->oo) Q(t) = 320 kg
pour atteidre 95% de 320 kg, il faut un temps de:
t = -(800/8).ln[-(0,05*320)/(50 - 320)] = 282,6 minutes
----------
Sauf distraction. Vérifie. 
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