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Equation des ondes : schéma explicite

Posté par Padri (invité) 20-04-06 à 03:24

Bonjour

J'ai un petit problème que j'aimerai bien résoudre.
Pour résoudre l'équation des ondes, on utilise le schéma explicite suivant :
\frac{1}{k^2}(U_j^{n+1}-2U_j^n+U_j^{n-1})-\frac{c^2}{h^2}(U_{j+1}^n-2U_j^n+U_{j-1}^n)=0,
où U_j^n est l'approximation de u(x_n,t_j), k est le pas de temps et h le pas d'espace.

Voilà mon problème.
Je dois normalement trouver que ce schéma est d'ordre 2 en temps et 2 en espace. Mais moi, je trouve que l'erreur de consistance est égale à :
O(k^3)-c^2kO(h^2).
Je n'arrive pas à trouver que l'erreur est égale à :
O(k^2)+O(h^2).

Merci de m'aider.

Au cas où je me tromperais, l'erreur de consistance pour ce schéma c'est bien :
\epsilon _n=\frac{1}{k}(u(x,t+k)-2u(x,t)+u(x,t-k)-\frac{c^2k^2}{h^2}[u(x+h,t)-2u(x,t)+u(x-h,t)]) ?

Posté par Delool (invité)re : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 10:22

Salut Padri,

Ca fait longtemps que j'ai fait des schémas aux différences finies, et j'ai quasiment tout oublié.
Donc je ne vais pas vérifier ton résultat.

Cependant, on peut remarquer que :
-c^2kO(h^2)=O(kh^2) que l'on peut majorer par O(k^2)+O(h^4)
car kh^2\leq k^2+h^4.

Je ne sais pas si cela peut t'aider.

Posté par Delool (invité)re : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 13:21

Je viens de me plonger dans les calculs :
On obtient :
\varepsilon=\left(k(\partial^2_t u)_j^n+O(k^2)\right)-\frac{c^2k}{h}\left(h(\partial^2_x u)_j^n+O(h^2)\right)

Les indices j et n signifient qu'on est au point (x_j,t_n).

Comme u est solution de l'équation des ondes, on obtient :
\varepsilon=\left(O(k^2)\right)-\frac{c^2k}{h}\left(O(h^2)\right)
D'où
\varepsilon=O(k^2)+O(\frac{kh^2}{h})
\varepsilon=O(k^2)+O(kh)
Et avec la petite astuce que j'ai exposé ci-dessus (kh\leq k^2+h^2),
on obtient bien le bon résultat.



Posté par Padri (invité)re : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 14:36

Mais on a le droit de majorer comme tu le fais ?

Et comment tu trouves O(k^2) ? Moi, je trouve O(k^3). Tu as utilisé l'expression de \epsilon que j'ai donné ou une autre ?

Merci de ton aide Delool.

Posté par Padri (invité)re : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 14:52

Ah oui, tu as fait des développements de Taylor à l'ordre 3. Mais moi, je suis aller jusqu'à l'ordre 4 !?

Mais si on fait comme toi, on peut majorer O(h) par O(h^2) et ensuite par O(h^3), O(h^4) ...
Ça n'a plus de sens après. Il faut trouver le plus petit, non ?

Posté par Delool (invité)re : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 14:55

Non, c'est O(h^2) qui se majore par O(h),
car h tend vers 0.

Posté par Delool (invité)re : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 15:04

J'utilise bien la même expression de toi pour \varepsilon.*

On suppose que u est solution de l'équation non discrétisée.
Donc \partial_t^2 u+c^2\partial_x^2 u=0

Si on applique le développement de Taylor, on obtient :
u_j^{n+1}=u_j^n+k(\partial_t u)_j^n+\frac{k^2}{2}(\partial_t^2 u)_j^n+O(k^3)

u_j^{n-1}=u_j^n-k(\partial_t u)_j^n+\frac{k^2}{2}(\partial_t^2 u)_j^n+O(k^3)

u_{j+1}^{n}=u_j^n+h(\partial_x u)_j^n+\frac{h^2}{2}(\partial_x^2 u)_j^n+O(h^3)

u_{j-1}^{n}=u_j^n-h(\partial_x u)_j^n+\frac{h^2}{2}(\partial_x^2 u)_j^n+O(h^3)

On met u dans le schéma discrétisé et on regarde ce qui se passe.
\varepsilon=\left((\partial_t u)_j^n+\frac{k}{2}(\partial_t^2 u)_j^n+O(k^2)\right)+\frac{c^2k}{h}\left((\partial_x u)_j^n+\frac{h}{2}(\partial_x^2 u)_j^n+O(h^2)\right)

Tout se simplifie sauf les O()
Sauf erreurs

Posté par Delool (invité)re : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 15:20

J'ai fait des erreurs dans ma dernière ligne.
Il faut lire :
\varepsilon=\left[\left((\partial_t u)_j^n+\frac{k}{2}(\partial_t^2 u)_j^n+O(k^2)\right)-\left((\partial_t u)_j^n-\frac{k}{2}(\partial_t^2 u)_j^n+O(k^2)\right)\right]+\frac{c^2k}{h}\left[\left((\partial_x u)_j^n+\frac{h}{2}(\partial_x^2 u)_j^n+O(h^2)\right)-\left((\partial_x u)_j^n-\frac{h}{2}(\partial_x^2 u)_j^n+O(h^2)\right)\right]

Posté par Padri (invité)re : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 16:30

J'ai fait comme toi mais je suis aller jusqu'à l'ordre 4.
Pourquoi il faut s'arrêter à l'ordre 3 ?

Posté par Delool (invité)re : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 16:44

Veux-tu dire que les termes en k^2 et en \frac{k}{h}h^2 sont nuls?
et donc qu'il faut aller un ordre plus loin?

Posté par Delool (invité)re : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 16:59

Donc je suis d'accord avec toi.

On trouve bien O(k^3)+O(kh^2),
qui peut se majorer par :
O(k^2)+O(h^4) (en écrivant que kh^2=k\times h^2\leq k^2+h^4)
ou par :
O(k^3)+O(h^2) (en écrivant que kh^2=kh\times h\leq (kh)^2+h^2\leq k^4+h^2)

Posté par Delool (invité)re : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 17:08

Je viens d'avoir une idée !!!

Tu trouves O(k^3)+O(kh^2).

Je pense que \varepsilon doit être divisé par k dès le départ. La définition que tu as de \varepsilon ne doit pas être totalement correcte.

A ce moment là, on trouve bien, avec ta méthode, une consistance d'ordre (2,2).

Posté par
ryotigerre : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 18:21

Salut

L'erreur de consistance c'est :
\epsilon ^n=(schéma)-(équation),
c'est-à-dire :
\epsilon ^n=\frac{1}{k^2}[u(x,t+k)-2u(x,t)+u(x,t-k)]-\frac{c^2}{h^2}[u(x+h,t)-2u(x,t)+u(x-h,t)]-(\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}(x,t)-c^2\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}(x,t))
\epsilon ^n=\frac{1}{k^2}[k^2\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}(x,t)+O(k^4)]-\frac{c^2}{h^2}[h^2\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}(x,t)+O(h^4)]-(\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}(x,t)-c^2\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}(x,t))
\epsilon ^n=\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}(x,t)+O(k^2)-c^2\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}(x,t)-c^2O(h^2)-\frac{\partial ^2u}{\partial t^2}(x,t)+c^2\frac{\partial ^2u}{\partial x^2}(x,t))
\epsilon ^n=O(k^2)-c^2O(h^2)
D'où ton résultat.

Pour info, la formule de l'erreur de consistance que tu as utilisée ne marche que s'il n'y a que les vecteurs U^n et U^{n+1}, sans U^{n-1}.

Voilà.
Bon courage.

Posté par Padri (invité)re : Equation des ondes : schéma explicite 20-04-06 à 19:22

Merci ryotiger.
Surtout merci à Delool pour son aide. Merci d'y avoir passé du temps.
À bientôt.


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