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équation de la chaleur barreau isolé

Posté par
Pierre_07 01-05-15 à 15:35

Bonjour,

J'ai un problème sur l'équation de la chaleur dans un barreau isolé.

Voici mon énoncé.

On s'intéresse à la température $u(x,t)$ dans un barreau $0<x<1$ on rappelle que $u$ est solution de l'équation de la chaleur: $\\ \frac{\partial u}{\partial t}=\mu \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$ où $\mu >0$ désigne le coefficient de diffusion thermique. Les extrémités $x=0$ et $x=1$ sont supposées isolées thermiquement de sorte que $u$ vérifie les conditions aux limites: $\\ \frac{\partial }{\partial x}u(x=0,t)=0, \forall t>0\\ \\ \frac{\partial}{\partial x}u(x=1,t)=0, \forall t>0\\ \\$ .

J'ai résolu l'EDP en utilisant la méthode de séparation des variables et je tombe sur ceci:

$u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} A_n\exp{-\pi^2n^2\mu t}\cos{n\pi x}$

La question sur laquelle je bloque est la suivante:

On donne maintenant la condition initiale: $u(x,0)=1-x, \forall x \in ]0,1[$ .
Déterminez les Coefficients $A_n$ pour que la condition initiale soit satisfaite.

J'ai essayé de procéder par identification mais je n'y suis pas arrivé du coup je bloque pas mal, faut il que j'utilise le fait que c'est une série de Fourier? (je ne suis même pas sur que ça en soit une...)
Enfin bref si quelqu'un pouvait m'aider, merci d'avance

Posté par re : équation de la chaleur barreau isolé 02-05-15 à 15:40

Effectivement, lorsque l'on prend $t=0$ , l'expression de $u(x,t)$ a la forme d'une série de Fourier. Il va donc sans doute te falloir calculer les coefficients de Fourier pour une certaine fonction périodique coïncidant avec $1-x$ sur $[0,1]$ .

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