Bonjour,

J'essaie de résoudre l'équation de la chaleur en régime dynamique. Cela fait appel aux notions de transformées de Fourier, de produit de convolution, … aie aie aie difficulté pour moi.

On peut considérer que je suis dans un problème unidimensionnel.

Mon domaine est discutable, illimité ou pas ? Je ne sais pas si cela change beaucoup l'expression du problème ?
On pourrait considérer 2 cas :
- 1er cas : domaine illimité
- 2ème cas : Domaine limité par un plan où j'impose une condition limite

Voici ma démarche :

J'écris l'équation de la chaleur sous la forme :

(EQUATION 1 ci-dessous)

avec D est le coefficient de diffusivité thermique
P représente ma source de chaleur. P peut être une fonction du temps et de la position de la source de chaleur, mais je considère pour simplifier que P est constante sur l'intervalle de temps qui m'intéresse donc P(t,x)=P.

Du côté des conditions limites, je connais :
- l'état initial du domaine T0 = T(0,x).
- et aussi si je prends mon cas du domaine limité que T(0, L) = T0 .

J'ai vu que la méthode de résolution consiste à :

• Appliquer une transformée de Fourier relative à la variable x, à tous les termes de l'équation différentielle.
Je suis au niveau zéro en transformée de Fourier. Mais j'ai bien compris que cela transforme la dérivation par rapport à x par un produit.
Donc, si on prend (EQUATION 2 ci-dessous)  , alors l'équation devient :

(Equation 3 ci dessous)

pour tenir compte de la condition initiale. Est-ce bien ça ???
• Reconnaître dans cette équation un produit de convolution :

(equation 4 ci dessous)

L'opérateur qu'on applique à F est un produit de convolution relatif à la variable t.
Et après c'est le grand mystère pour moi…

J'ai lu qu'en appliquant la réciproque de l'opérateur on a :
F(T) = F(P) * H(t)exp( − 4π²Dp²t) + F(T0)H(t)exp( − 4π²Dp²t)

Et si F(P) est une fonction et non une distribution, que cette relation devient, pour t > 0 :

(Equation 5 ci-dessous)

• Ensuite il faudrait que je remplace  F(P) et F(T0) et que je prenne la transformée de Fourier inverse pour en déduire T mais là je ne sais pas du tout comment faire…

Enfin voilà, je ne sais pas si j'ai été très clair, j'espère. Est-ce que quelqu'un pourrait voler à mon secours pour m'expliquer ?

Merci beaucoup.