je vous met mon énoncé et mes déductions:

soit f une application de R ds R. On appelle solution du pb de la chaleur noté(C), tte application F élément de C1(R*R+,R) tq
-x F(x,0)=f(x)
-(x,t)R*R+  F(x+2pi,t)=F(x,t)
-   F''par rapport à x est définie, continue et F' par rapport à t = F'' par rapport à x.
1/unicité d'1 solution de (C)

1.1/on suppose F une solution. Pour t réel positif, F_t(x)=F(x,t)
montrer qu'il existe une suite de fonctions (_n) tq F_t(x)=_n(t)exp(inx)


1.2/_nsolution de y'=-n²y sur R+.

ok

1.3/montrer que si F existe F(x,t)=C_n(f)exp(-n²t)exp(-inx)

ici ok

2/montrer que
si est C1 et 2pi périodique alors la série |C_n(phi)| converge.
et la série de fourier de phi converge normalement sur R.

|C_n(phi)|<1/2pi |phi(x)||exp(-inx)|  sur 0,2pi
                 <1/2pi |phi(x)|
phi(x)=phi(x+2pi) d'où |phi(x)|=0 entre 0 et 2pi
d'où |C_n(phi)|<0 d'où la série converge.

3/montrer que la série C_n(f)exp(-n²t)exp(inx)   converge normalement sur R*R+.

f 2pi périodique car F(x+2pi,t)=F(x,t)
on applique en t=0 d'où f(x+2pi)=F(x+2pi,0)=F(x,0)=f(x)
d'où C_n(f) converge.

4/monter que F est solution du pb (C)

voilà!

biz