bonjour
je ne sais pas si ça va répondre à ta question mais je peux expliquer comment on arrivait à l'équation de la chaleur dans la cas simple de la barre (ses bords latéraux sont adiabatiques d'où la dimension 1 de propagation).
par application du premier principe sur une tranche de matériau de dimensions S fois dx et de capacité thermique massique Cp :
.Cp.S.dx.dT/dt = S.j(x,t) - S.j(x+dx,t)

j est le vecteur (ici projeté) densité flux thermique, qui est lié à T par la loi de Fourier : j = - grad T

on arrive donc à .Cp dT/dt = - dj/dx = - d²T/dx²

d'où l'équation de la chaleur : dT/dt = D d²T/dx²

avc D le coef de diffusivité thermique

voilà tout ce que je sais sur le sujet ^^ pour l'équation de diffusion de particules c'est exactement le même principe
j'espère t'avoir avancé

Merci beaucoup d´avoir repondu, par contre il me faudrait quelques precisions si j´ose:
1) \rho est la masse volumique de la barre?
2) en deux mots que represente la premiere equation car j´ai lu ce que disais le premier principe (de la thermo je suppose) sur wikipedia mais ait de la peine a faire un lien pour etre honnete...

est la masse volumique de la barre en effet ^^ ça va avec Cp qui est la capacité thermique massique, comme ça quand on multiplie par on a Cp* qui est la capacité thermique volumique, et on multiplie par le volume élémentaire pour avoir la capacité de la tranche de barre ... ce qui nous amène au premier principe. Tu as du voir qu'il dit en gros :

U = Qech + W + ...

en gros la variation de l'énergie interne au cours d'une transformation est égale à la chaleur échangée, plus le travail échangé etc.
Ici pas de travail, et la chaleur provient uniquement des parois de section S en amont et en aval (pas de chaleur échangée latéralement). si tu as un problème pour visualiser je peux faire un dessin

donc U = Qech

tu sais peut-être que U = C.T pour un solide : le C c'est la capacité totale du bout considéré (je t'ai expliqué donc), on suppose que c'est constant pour simplifier d'ailleurs.

Pour revenir au premier principe, si on dérive chaque membre :
C.dT/dt =  P ech

la chaleur échangée en joule s'est transformée en puissance thermique échangée !

enfin par définition : P ech = j.dS
qui définit en fait le vecteur flux thermique (supposé constant dans notre cas sur une surface)
d'où Pech(x,t) = j(x,t).dS

et il faut bien sur considérer le flux venant de l'aval et de l'amont (avec une algébrisation positif si ça rentre dans le volume considéré)

voilà ça fait beaucoup tout ça je comprends^^