Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Equation de chaleur dans une sphère.
Bonjour,
J'aimerais savoir si la réponse que je donne à un problème est correcte.
Voici l'énoncé:
Soit une sphère creuse de rayon intérieur R1 et de rayon extérieur R2. Si T1 et T2 sont les températures correspondant respectivement aux rayons R1 et R2, exprimez en régime stationnaire, la température T à la distance r du centre de la sphère. Calculez le flux de chaleur à travers la paroi de la sphère. Remarque: Pensez à exploiter dès le départ que le champ de température T(x,y,z) est du type radial, soit T(r).
Voici mon raisonnement:
Je pars de l'équation de chaleur
Comme nous sommes en régime stationnaire,
je cherche donc à résoudre le laplacien de T(x,y,z).
Pour cela je passe en coordonnée cylindrique et j'obtiens:
ce qui nous donne par une premiere integration: a=r dT/dr
et par une deuxieme integration:
A ln|r| + B = T(r)
Ensuite je cherche A et B grâce aux conditions initiales.
et je trouve finalement:
T(r) = T1 + ln(r/R1) (T1-T2) / ( ln(R1/R2) )
et pour le flux de chaleur:
Q'=S J = S µ dT/dr = 2 PI L µ R r dT/dr = 2 PI L µ r dT/dr
D'avance merci,
denje.
Il y a une erreur dès le début :
L'énoncé parle d'une sphère et non pas d'un cylindre.
Il faut donc passer en coordonnées sphériques et non pas cylindriques.
Tout est à reprendre. Bon courage...
en effet ... je vais voir ca ce soir! Je reposterai dès que j'obtiens quelque chose qui semble correct
pour le laplacien en coordonnées sphériques j'obtiens:
ce qui me donne directement:
d'ailleurs, à ce propos, je n'ai jamais compris pourquoi on "pouvait" supprimer les thermes comprenants theta et phy ??
donc j'obtiens en intégrant 2 fois:
T(r) = -A/r + B
Je trouve A et B grace aux conditions initiales , j'obtiens:
A = (T2-T1) / ( (1/R1) - (1/R2) )
B = - (1/R1 - 1/R2 ) T2/(T2-T1)
et donc j'obtiens T(r):
Voila, j'espere que ce sera correct maintenant...
Merci pour votre réponse rapide JJa
denje
On ne "supprime" pas les termes en theta et phy. Ils restent bien là, mais ils sont nuls. En effet, puisque T ne dépend que de r, on a dT/dtheta=0 et dT/dphy=0. Ceci, bien sûr, parce que l'énoncé dit que la température est =T1, donc constante partout sur la surface de rayon R1 et qu'elle est =T2 donc constante partout sur la surface R2. Si ce n'était pas dit dans l'énoncé, on n'aurait pas le droit d'écrire que dT/dtheta=0 et dT/dphy=0 et les termes avec phy et theta ne seraient pas nuls.
Ceci dit, T(r) = -A/r + B est correct.
Par contre, sans avoir le temps de faire le calcul, j'ai l'impression qu'il y a quelque chose qui ne va pas dans la dernière formule T(r)=... Les formules de A et B seraient à vérifier.
Un grand merci, c'est vraiment rare les personnes qui prennent de leur temps pour en aider d'autres bénévolement! Grâce à vous, j'ai compris + de choses! et si T(r) est incorrect, j'ai bien compris le principe à présent 
Bonne soirée et encore merci!
Annuler
connectez vous