Niveau master

Équation d'une poutre en flexion

Posté par
aurora75 16-12-19 à 06:35

Bonjour,

Dans mon cours de vibrations des systèmes continus, je n'arrive pas à comprendre la mise en équation du mouvement d'une poutre en flexion.

Considérons une poutre droite de section constante $S=\ell \times e$ , avec $\ell$ la largeur et $e$ la hauteur, de longueur $L \gg e,\ell$ , de moment quadratique de section $I_\perp = \dfrac{\ell e^{3}}{12}$ , isotrope, ie. $\rho, E$ et $\nu$ non dissipatifs (densité, module d'Young, coefficient principal de Poisson).

On a une distribution de forces transverses $f(x,t)$ . On se place en petites perturbations et on ne prend pas en compte l'attraction gravitationnelle.
Ce qu'on cherche à étudier est le déplacement transverse local $v(x,t)$ .

On se place dans le cadre de l'hypothèse d'Euler-Bernoulli : l'inertie de rotation des sections est négligée, et par conséquent, les sections droites restent perpendiculaires à la ligne neutre.

On veut écrire l'équilibre dynamique d'une section d'épaisseur $\mathrm{d}x$ . Par rapport au schéma joint (cf. bas du corps de texte), dans mon cours, on définit :

* Masse : $\rho S \mathrm{d}x$ ;
* Déplacement : $v(x,t)$ ;
* Accélération : $\dfrac{\partial^{2} v}{\partial t^{2}}$ ;
* Effort tranchant à gauche : $T$ ;
* Effort tranchant à droite : $-(T+\dfrac{\partial T}{\partial x}\mathrm{d}x)$ ;
* Moment fléchissant à gauche : $-M$ ;
* Moment fléchissant à droite : $M+\dfrac{\partial M}{\partial x}\mathrm{d}x$ ;
* Force extérieure : $f(x,t)$ ;
* Rotation des sections : $\theta(x)=\dfrac{\partial v}{\partial x}$ .

On effectue un bilan des résultantes : $\rho S \mathrm{d}x \dfrac{\partial^{2}v}{\partial t^{2}}=T-T-\dfrac{\partial T}{\partial x}\mathrm{d}x+f(x,t)\mathrm{d}x$ .

De même, on effectue un bilan des moments : $0=-M+M+\dfrac{\partial M}{\partial x}\mathrm{d}x-T\mathrm{d}x$ $(\star\star\star)$ .

En utilisant des résultats de théorie des poutres, on a que : $M=EI\dfrac{\partial \theta}{\partial x}=EI\dfrac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}$ , et on trouve donc que $T=\dfrac{\partial}{\partial x}(EI\dfrac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}})$ .
$EI$ étant constants : $\rho S \dfrac{\partial^{2}v}{\partial t^{2}}+EI\dfrac{\partial^{4}x}{\partial x^{4}}=f(x,t)$ .

Mes questions sont les suivantes :

* Pour déterminer le signe des efforts tranchants ainsi que des moments fléchissants, comment raisonne-t-on ?
* Pourquoi, dans le bilan des moments $(\star\star\star)$ , on a un effort tranchant $T$ qui apparaît dedans ?! (C'est quel effort tranchant qui participe ?)
* Pourquoi, dans cette même équation $(\star\star\star)$ , le membre de gauche est nul ?

Merci pour vos éclaircissements, et bon début de semaine !
[Et bon courage pour ceux qui doivent se déplacer].

$Équation d\'une poutre en flexion$

Posté par re : Équation d'une poutre en flexion 16-12-19 à 07:57

Bonjour,

"Pourquoi, (\star\star\star), le membre de gauche est nul ? "

Vous dites : "l'inertie de rotation des sections est négligée"

"Pourquoi, dans (\star\star\star), on a un effort tranchant T qui apparaît dedans ?! (C'est quel effort tranchant qui participe ?) "
Les deux : on a un couple (T,-T) avec un bras de levier dx (voir dessin)

"Pour déterminer le signe des efforts tranchants ainsi que des moments fléchissants, comment raisonne-t-on ? "
C'est une convention qui ne change rien au résultat, il faut savoir comment vous définissez T : action de la partie droite sur la gauche ou l'inverse. Ce n'est pas un problème de signe à proprement parler : tous les calculs sont algébriques.

Posté par re : Équation d'une poutre en flexion 16-12-19 à 12:17

aurora75

extrait de la FAQ du forum :

Q29 - Avoir plusieurs comptes est-il autorisé ?

donc en pratique, fermer le 2e compte puis lever l'avertissement sur le 1er compte
poursuivre cette discussion avec l'autre compte
(modération)

Posté par re : Équation d'une poutre en flexion 17-12-19 à 18:07

Bonjour à tous (et à mmalou),

aurora75 et moi-même faisons partie de la même famille.

Nous avions deux comptes pour deux personnes, car je suis en filière électronique, tandis que aurora75 est en filière mécanique.
Nous n'avons que peu de cours en commun (un seul pour être précis).

Nous savons que le multi-compte n'est pas autorisé. Cependant, comment faire alors pour se mettre en conformité si déjà, on nous sanctionne comme étant une seule et même personne ?

J'attends la réponse d'un modérateur pour que nous ne puissions pas perdre le droit de poster sur ce forum avec nos sujets respectifs.

Oreo47 (et aurora 75).

Posté par re : Équation d'une poutre en flexion 17-12-19 à 18:30

Bonsoir
Je ne vois pas l'intérêt de deux comptes distincts
profils : autre pour les deux
mail : identiques pour les deux
mot de passe : identiques pour les deux
donc on restera sur un seul compte vu l'usage qui en est fait.
(webmestre)

Posté par re : Équation d'une poutre en flexion 17-12-19 à 18:48

Bonsoir mmalou,

Oui, nous n'avons pas configuré les profils.
Nos posts sont en section "master", comme précisé lors des posts des messages.
Cependant, l'adresse mail n'est pas la même (même fournisseur par contre).

Nous prenons acte de votre décision.

Merci pour votre réponse.
Oreo47.

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