Niveau école ingénieur

Équation d'une onde électromagnétique

Posté par
vovik 09-12-17 à 20:54

Bonjour,

voici les équations des composantes d'une onde électromagnétique:

$\vec{E}=\left\{\begin{matrix} E_{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j2\pi [10^{10}t-\tfrac{40}{\sqrt{2}}(x+y)]}\\ E_{y}=-\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j2\pi [10^{10}t-\tfrac{40}{\sqrt{2}}(x+y)]}\\ 0. \end{matrix}\right.$

A partir de ces équations je souhaiterais savoir les données suivantes:
1- la direction de propagation,
2 - la fréquence,
3 - la longueur d'onde $\lambda$
4 - la vitesse de propagation,
5- déduire la constante diélectrique $\varepsilon _{r}$ du milieu de propagation.

Mon raisonnement:
1 - la direction de propagation ces x>0 et y>0 ,
2 - la fréquence: $f=10^{10}Hz$
3 - la longueur d'onde je l'extrait dans les équations:
$-\frac{1}{\lambda }=-\frac{40}{\sqrt{2}}=>\lambda =\frac{\sqrt{2}}{40}=0.035355m$
pourriez-vous confirmer si c'est juste ou pas?
4 - la vitesse de propagation je la détermine selon la relation:
$v=\lambda f=>v=0.035355\cdot 10^{10}=3.5353\cdot 10^{8}\frac{m}{s}$
ce qui est une aberration car sa dépasse la célérité de la lumière
Je pense que la problème vienne du calcul de la longueur d'onde $\lambda$
que j'ai mal interprété. Pourriez-vous apporter vos corrections?

5 - ici une fois que j'aurais trouvé la bonne valeur pour la vitesse de propagation selon la relation : $v^2=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\mu }}$
je pourrais en déduire la constante diélectrique.

Cordialement.

Posté par re : Équation d'une onde électromagnétique 09-12-17 à 21:11

Bonsoir
Dans le cas d'une onde plane sinusoïdale progressive, se propagent suivant la direction et le sens du vecteur d'onde $\overrightarrow{k}$ , chaque composante du vecteur champ électrique a pour composante :

$E_{x}=E_{0x}.e^{j\left(\omega.t-\overrightarrow{k}.\overrightarrow{OM}\right)} \\ \\ E_{y}=E_{0y}.e^{j\left(\omega.t-\overrightarrow{k}.\overrightarrow{OM}\right)} \\ \\ E_{z}=E_{0z}.e^{j\left(\omega.t-\overrightarrow{k}.\overrightarrow{OM}\right)}$

On peut poser :

$\overrightarrow{k}.\overrightarrow{OM}=k_{x}.x+k_{y}.y+k_{z}.z$

et :
$\\ k=\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi.f}{v}$

Je te laisse identifier les différents termes et reprendre les calculs. L'aberration dont tu parles va disparaître...

Posté par re : Équation d'une onde électromagnétique 09-12-17 à 22:35

Bonsoir,

$\vec{k}\vec{OM}=k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z=\frac{40}{\sqrt{2}}x+\frac{40}{\sqrt{2}}y=>k=\sqrt{(\frac{40}{\sqrt{2}})^2+(\frac{40}{\sqrt{2}})^2}=40=>\frac{1}{\lambda }=40=>\lambda=\frac{1}{40},\lambda =0.025m$

La vitesse de propagation:
$v=\lambda f=0.025\cdot 10^{10}=2.5\cdot 10^8\frac{m}{s}$

Le diélectrique relative du milieu:
$v^2=\frac{1}{\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\mu_{0}}=>\varepsilon _{r}=\frac{1}{\varepsilon _{0}v^{2}\mu_{0}}=\frac{1}{\frac{1}{36\pi }\cdot 10^{-9}\cdot (2.5\cdot 10^8)^2\cdot 4\pi \cdot 10^{-7}}=1,44$

Est'ce que je dois faire l'approximation de la vitesse par rapport à la célérité de la lumière dire que v aprox c ?

C'est juste maintenant?

Cordialement.

Posté par re : Équation d'une onde électromagnétique 09-12-17 à 22:54

1° : Personnellement, je définis le vecteur d'onde comme le vecteur ayant la direction et le sens de propagation de l'onde plane et la norme :

$k=\sqrt{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}=\frac{2\pi}{\lambda}$
Tu sembles poser $k=\frac{1}{\lambda}$ , ce qu'on appelle le plus souvent "nombre d'onde" ... Question de convention car les deux méthodes conduisent à la même valeur de la longueur d'onde et donc à la même valeur de la vitesse.
2° : 20% d'écart relatif entre v et c : il n'y a pas lieu de poser vc
3° : Compte tenu de k_x=k_y : valeur positive et k_z=0 : peux-tu préciser la direction et le sens de propagation comme demandé question 1 ?

Posté par re : Équation d'une onde électromagnétique 09-12-17 à 23:25

Re-Bonsoir,

concernant la direction :
$m\vec{\kappa }=\binom{mk_{x}}{mk_{y}}=\binom{x}{y}=\vec{OM}=>\left\{\begin{matrix} mk_{x}=x\\ mk_{y}=y \end{matrix}\right.=>\frac{x}{k_{x}}=\frac{y}{k_{y}}=>y=\frac{k_{y}}{k_{x}}x,k_{x}=k_{y}=>y=1\cdot x$
donc 1 c'est le coefficient directeur, ainsi l'onde se propage dans la direction de x, en sens x>0 et dans la direction y, en sens y>0 .

L'onde se propage sur le plan xOy
Cordialement.

Posté par re : Équation d'une onde électromagnétique 09-12-17 à 23:33

Ce que tu viens d'écrire est exact : la direction de propagation est bien la droite d'équation y=x du plan xOy.
OK aussi pour le sens.

Posté par re : Équation d'une onde électromagnétique 10-12-17 à 09:46

Bonjour,

je vous remercie pour votre aide vanoise .

Cordialement.

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