Niveau licence

Équation d'état

Posté par
JasonVV 06-12-17 à 22:11

Sujet de l'exercice: Equation d'état et coefficients thermoélastiques.
On considère une mole d'une substance telles que les coefficients ALPHA et XT valent:
ALPHA= $\frac{1}{V}*(\frac{\partial V}{\partial T})=\frac{R}{PV}+\frac{a}{VT^2}$
XT= $\frac{-1}{V}*(\frac{\partial V}{\partial P})=-\frac{RT}{VP^2}$
ou a est une constante réelle, V le volume, P la pression et T la température de la subtance.
On veut déterminer l'équation d'état f(T,P,V)=0 de cette subtance.

1) Donnez l'expression de dV.
J'ai remarqué que la dérivée partielle d'ALPHA par rapport à P est égale à la dérivée partielle de XT par rapport à T
==> dV= $(\frac{R}{P}+\frac{a}{T^2})dT+\frac{RT}{P^2}dP$
ai-je bon ??

2) je n'ai pas compris comment avoir f(T,P,V). Pour moi il faut calculer V(T,P) ??

$\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{R}{P}+\frac{a}{T^2}$
$\frac{\partial V}{\partial P}=\frac{RT}{P^2}$

$==> V(P,T)=-\frac{RT}{P}+f(T)$
$\frac{\partial V}{\partial T}=-\frac{R}{P}+f'(T)$
$(1) \frac{R}{P}+\frac{a}{T^2}$

D'ou
$f'T)=\frac{2R}{P}+\frac{a}{T^2}$

On a alors, $f(T)=\frac{2RT}{P}-\frac{a}{T}$

$V(P,T)=-\frac{RT}{P}+\frac{2RT}{P}-\frac{a}{T}$

Je ne sais pas si je réponds à l'exercice... Merci (c'est en fait des maths)

Posté par re : Équation d'état 06-12-17 à 22:29

Bonsoir
Il y a une erreur de signe dans l'énoncé tel que tu l'as recopié : à T fixe, le volume est une fonction décroissante de la pression :

$\chi_{T}=\frac{-1}{V}*(\frac{\partial V}{\partial P})=\frac{RT}{VP^{2}}$
Revois la suite en conséquence mais la méthode utilisée est excellente. Le cas limite a= 0 devrait te donner l'équation des gaz parfaits. Tu as raison : l'exo est très proches des maths. Tu vas remarquer en avançant dans le programme, que les maths y jouent un rôle non négligeable , en particulier le théorème de Schwartz sur les différentielles exactes.

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