Bonsoir
Connais- tu le théorème de Gauss appliqué à la gravitation universelle  ?
Cela devrait te dépanner.

Bonjour, oui j'ai tenté d'écrire
divg=-4piGρ(r)  et developper cette expression en sphérique mais les calculs m'avait paru d'une monstruosité assez étrange..

Ok. Je pensais à la forme intégrée du théorème de Gauss.  Compte tenu des symétries et des invariances du problème,  un raisonnement analogue à ceux de l' électrostatique conduit à un vecteur champ gravitationnel radial centripète de norme G.m _int/r².Tu peux effectivement étudier l'équilibre d'une couche d'épaisseur dr.
Il est plus simple d'étudier directement l'équilibre d'un volume élémentaire dsachant que la résultante des forces de pression sur ce volume élémentaire est le produit de dpar l'opposé du gradient de la pression.
Désolé pour la syntaxe et les formules  : je suis en déplacement et poste avec un simple téléphone portable...

Bonjour
Petit complètement à mon message précédent.
On peut évidemment discuter de la pertinence du modèle gaz parfait puisque ce modèle suppose nulles les interactions à distance alors qu'ici la gravitation intervient.
Ce modèle permet,  même si le gaz n'est pas homogène, d'établir une relation de proportionnalité entre pression et masse volumique.
Ce qui me gêne est la détermination de m_int, la masse à l'intérieur de la sphère de rayon r. On peut appliquer la loi des gaz parfaits bien sûr mais cela revient à considérer la masse volumique indépendante de la distance au centre...  Approximation tolérée ici ou l'énoncé fournit il plus de précisions sur la répartition de la matière  ?

Je te laisse réfléchir à tout cela et proposer une solution.