aïe ton égalité ne vérifie pas du tout une loi des mailles !
tu as : uL = uc   et E1 = 3/2r Io + uc

ok donc après on peux écrire:
E1 = 3/2r Io + uc
   = 3/2r(ic+il)+dq/dt
   =3/2r( dq/dt+il) +dq/dt
mais après je ne vois pas comment faire pour remplacer il?

tu as fait des erreurs déjà :
tu écris uc = dq/dt ! tu confonds avec ic = C.dq/dt

corrige tes erreurs et ensuite dérivée tout pour utiliser uL = L.diL/dt

Merci, après avoir dérivé je trouve:
dq2/dt2+(2/3rc)dq/dt+q/c
C ça?
Merci encore je n'aurais jamais pensé à dériver!!

E = 3/2 r.(dq/dt + iL) + uc

E = 3/2 r.(dq/dt + iL) + C.q

0 = 3/2 r.(d²q/dt² + 1/(CL) q ) + C.dq/dt

voilà si je n'ai pas fait d'erreur !

Attention efpe, ton équation n'est pas homogène.

L'erreur vient du fait que q = C.uc et pas uc = C.q comme tu l'as écrit.
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Ul = Uc = E1 - (3r/2).Io (posons Ul = Uc = U)
Io = (2/3).(E1 - U)


U = L.dIL/dt
Ic = C.dU/dt
Io = Ic + IL

dIo/dt = dIc/dt + dIL/dt

(2/(3r)).(dE1/dt - dU/dt) = dIc/dt + U/L

-(2/(3r)).dU/dt = dIc/dt + U/L

-(2/(3r)).dU/dt = C.d²U/dt² + U/L

C.d²U/dt² + (2/(3r)).dU/dt + U/L = 0

Or q = C.U
U = q/C

C/C d²q/dt² + (2/(3r)).(1/C).dq/dt + q/(LC) = 0

d²q/dt² + (2/(3rC)).dq/dt + q/(LC) = 0

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Sauf distraction.  

aïe désolé faute d'inattention !

C plutôt
E = 3/2 r.(dq/dt + iL) + uc
E = 3/2 r.(dq/dt + iL) + q/C
0 = 3/2 r.(d²q/dt² + 1/(CL) q ) + C/(dq/dt)
Car q=Cuc d'où uc=q/C.
Sinon, pour résoudre cette equa diff je pose l'equation caractéristique suivante:
X^2+2/3RCX+1/LC=0
Je trouve un discriminant négatif
J'en déduit que la solution est du type:
q(t)=Aexp(-2/3RCt).cos(racine(-)/2t+B)
Mais je bloque pour trouver les constantes A et B
J'ai fait avec les conditions initiales:
q(0)=0 donc Acos(B)=0
Et dq/dt=(2E1)/(3r); à t=0,
Mais je ne vois pas comment conclure après!

Et bien, en te servant de dq/dt=(2E1)/(3r); à t=0, tu auras une 2ème relation liant A et B

Donc 2 équations à 2 inconnues A et B ...
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Personnellement, je préfère écrire la solution sous la forme :

q(t) = e^(-2/3RC t).(A.cos(wt) + B.sin(wt))

Cela revient au même, mais les constantes sont souvent + facile à trouver.

q(0) = 0 --> 0 = (A.cos(0) + B.sin(0)) --> A = 0

Il reste q(t) = e^(-2/3RC t).B.sin(wt)

dq/dt = B.[e^(-2/3RC t).w.cos(wt) - 2/3RC.e^(-2/3RC t).sin(wt)]

et comme (dq/dt)(0) = 2E1/3R -->

2E1/3R = B.[.w.cos(0) - 2/3RC.B.sin(0)]

B = 2E1/(w.3R)

Le w est la même pulsation que celle par l'autre mpéthode (soit racinecarrée(- Delta))
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A vérifier bien entendu.  (Rien relu)

Merci beaucoup d'avoir consacré du temps pour m'aider.