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Epaisseur de peau
Bonjour,
j'ai un exercice d'électromagnétisme et je ne vois pas du tout par où commencer, j'aurais besoin d'un peu d'aide.
Voici l'énoncé:
Un conducteur occupe tout l'espace correspondant aux valeurs négatives de x. Il est limité par un plan P d'équation x=0, maintenu au potentiel Vo.
1) Si l'on désigne par 
la densité surfacique de charges, que vous supposerez constante et positive, calculez le champ électrique extérieur au voisinage immédiat du conducteur.
2) Les charges portées par un conducteur en équilibre électrostatique, sont en réalité distribuées dans une couche de faible épaisseur. On désigne par 
=oexp(x/a) la densité volumique de charges dans cette couche pour x négatif; a est une distance de l'ordre de l'angström.
a) Calculez le champ et le potentiel électrostatique en tout point de l'espace.
b) Représentez les variations E(x) et V(x).
c) Si l'on pose a=1A, calculez la profondeur xo à laquelle le champ est égal au millionième de sa valeur en surface. Conclure.
3) Donnez l'équation et l'allure des surfaces équipotentielles V=V1 et des lignes de champ du dipôle.
Merci d'avance pour l'aide que vous m'apporterez.
Bonne soirée.
Bonjour,
Je suis sur que si, vous devez voir par où commencer.... Je vous aide :
1. théorème de Coulomb. Si vous ne ne connaissez pas, il se démontre facilement en utliisant le théorème de Gauss appliqué sur une surface de Gauss judicieusement choisie dont on fait tendre l'épaisseeur ensuite vers 0 pour trouver une relation entre les composantes normales du champ électrique à la surface du conducteur (relation de passage). Et comme on sait que le champ électrique est nul à l'intérieur d'un conducteur....
2. a. on vous donne la densité de charge, ça doit être automatique d'essayer en premier d'utiliser l'ééquation de Maxwell-Gauss
2. b. ça devrait aller....
2. c. pareil....
3. il sort d'où ce dipôle ?
Bonsoir,
Merci pour les indications.
1. D'après le théorème de Coulomb on a : 
E.dS=Q/
0
Or le champ électrique est perpendiculaire au plan P
D'où E.dS=E.dS=dS/0 d'où E=/0
Est-ce correct?
2.a. D'après le théorème de Maxwell-Gauss:
divE=/0 mais je n'arrive pas à trouver E à partir de cette équation, je continue de chercher...
3. Je ne sais ps, peut-être est-ce le conducteur.
Merci encore.
Bonsoir.
Bonjour,
1. c'est bon !
2.a. ne regardez que ce qui se passe à l'intérieur du conducteur. Par des arguments de symétrie vous pouvez dire que le champ ne dépend que de (...) coordonnée(s). Et ensuite vous appliquez brutalement puisqu'on vous donne
.
3. on verra quand on aura les courbes de E et V, mais il s'agit peut-êter d'une erreur d'énoncé avec le mot dipole en trop.... c'est votre prof qui vous a donné l'énoncé ou vous l'avez pris adsn un livre ?
Bonjour,
1.Merci
2.a. Comme le conducteur occupe tout l'espace en dessous du plan P d'équation x=0, E est dirigé suivant ex, donc ne dépend que de x.
divE=oexp(x/a)/o
Pour trouver E, doit-on intégrer E par rapport à x, ce qui donnerait E=oexp(x/a)/odx= o/o(aexp(x/a)) mais je ne suis pas sûre des bornes de l'intégrale (-
,0) ?
Pour trouver V à partir de E, on utilise E=-gradV et on intègre E par rapport à x pour trouver V?
Bonjour,
Vous êtes un peu léger sur les arguments de symétrie... Il faudrait dire la surface du conducteur est un plan Oxy et que tout plan orthogonal à Oxy est plen de symétrie, donc E est normal à Oxy.
Ici on a donc E qui ne dépend que de la coordonnée x et qui est normal au plan donc . Alors
tout simplement et vous avez ensuite la bonne équation.
Pour les bornes, puisque vous connaissez à la surface, en x = 0, vous pouvez calculer
(j'ai pris t comme variable d'intégration, pour éviter les bourdes, de toute façon c'est une variable muette). Et n'oubliez pas que x < 0 ici.
On trouve donc .
Pour toruver le potentiel, oui, on intègre le champ, en tenant compte des conditions aux limites. On écrit une intégrale avec des bornes explicites, comme ça, ça évite de se tromper avec les constantes d'intégration.
Vérifiez les calculs, je ne suis pas en super forme ces temps-ci, au moindre calcul que je tente, j'ai une chance sur 2 d'écrire une énormité...
Bonjour,
Pour E(x)-E(0) je trouve: oa/o(exp(x/a)-1)) et E(0) c'est la valeur qu'on a trouvé à la première question.
Pour V: V=-(oa/o)exp(t/a) dt+oa/o dt-/o dt
Les intégrales allant de 0 à x.
Re,
Cela me semble bon. Comme vous savez qu'à la surface vous pouvez en déduire
(ouf, c'est bien homogène !).
Pour le potentiel, je suis d'accord...mais il faut calculer les intégrales maintenant ! en voyant que les deux dernières s'annulent en raison de la relation entre et
.
Bonjour,
Je ne comprends pas pourquoi E(x)-E(0)=oexp(x/a)/odx... Chez moi, j'ai : E(x)=oexp(x/a)/odx
avec les intégrales allant de 0 à x.
Merci d'avance.
Bonjour,
Pour V, comme les deux dernières intégrales s'annulent, on obtient V=-a^2o/o(exp(x/a)-1)+ constante.
Comme pour x=0, V=Vo constante=Vo
2.b. Pour E: oa/o>0 et /o>0 d'où la représentation graphique de E est une exponentielle qui part de 0 en - et tend vers -oa/o
Pour V: -a^2o/o>0 donc on a une exponentielle décroissante qui part de , en x=0 vaut Vo et tend vers 0
Est-ce bien ça?
2.c. ao/o(exp(x/a)-1)+/o+/1000o
Si on résout tout ça et que l'on prend =ao
x= -6,9*10^(-10)
Serait-ce la bonne réponse?
Pour la 3, je sais pas si l'on doit considérer le conducteur comme le dipôle.
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