Niveau master

entropie et multiplicateurs de Lagrange

Posté par
jybb 25-01-23 à 22:27

Bonjour,

J'ai un problème de niveau M1 physique dont voici l'énoncé :

La formule de l'entropie est :
$S = -k_B\sum_iP_i\ln(P_i)$

On donne les contraintes suivantes :

$\sum_i P_i = 1$ (contrainte de normalisation)

$\sum_iP_i\alpha_i = \langle \alpha\rangle$

On somme sur $i$ , qui sont tous les microétats possibles du système.

On donnela fonction Lagrangienne suivante :

$L(P_i, \lambda_0, \lambda_1) = S - \lambda_0\left(\sum_iP_i -1\right) - \lambda_1\left(\sum_iP_i\alpha_i - \langle \alpha\rangle\right)$

La fonction de Lagrange devant être extrémable pour les probabilités ainsi que vis-à-vis des contraintes, cette équation doit respecter les conditions :

$\dfrac{\partial L}{\partial P_i} = 0$

$\dfrac{\partial L}{\partial \lambda_0} = 0$

$\dfrac{\partial L}{\partial \lambda_1} = 0$

1) En utilisant la maximisation d'entropie, montrez que pour un système microcanonique, $P_i = \dfrac{1}{\Omega}$ , avec $\Omega$ le nombre d'états microscopiques (microétats).

Donc je calcule ces trois dérivées partielles, et j'obtiens les équations suivantes :

$\dfrac{\partial L}{\partial P_i} = -k_B\Omega - \lambda_0\Omega - k_B\sum_i\ln(P_i) - \lambda_1\sum_i\alpha_i = 0$

$\dfrac{\partial L}{\partial \lambda_0} = -\sum_iP_i + 1 = 0$ (c'est juste l'équation de contrainte 1, donc inutile...)

$\dfrac{\partial L}{\partial \lambda_1} = -\sum_iP_i\alpha_i + \langle\alpha\rangle = 0$ (c'est juste l'équation de contrainte 1, donc inutile aussi...)

Donc j'ai un système qui ne me sert à rien à la fin, car je ne peux pas exprimer $\lambda_0$ ou $\lambda_1$ dans les équations 2 et 3 afin de les injecter dans l'équation 1 et trouver quelque chose.

Dans les exemples que j'ai trouvés sur les multiplicateurs de Lagrange on avait toujours ça, forcément... car là les équations 2 et 3 que je trouve sont inutiles pour la résolution ?!

Merci d'avance pour votre aide

Posté par re : entropie et multiplicateurs de Lagrange 26-01-23 à 00:53

Bonjour, j'ai un niveau L3 mais cependant avec les contraintes donner tu peux je pense simplement les injecter dans ton lagrangien et ensuite avec L = S tu n'a plus le problème de tes inconnues sur lambda_1 et lambda_2

Posté par re : entropie et multiplicateurs de Lagrange 26-01-23 à 17:10

Tiwaaa @ 26-01-2023 à 00:53

Bonjour, j'ai un niveau L3 mais cependant avec les contraintes donner tu peux je pense simplement les injecter dans ton lagrangien et ensuite avec L = S tu n'a plus le problème de tes inconnues sur lambda_1 et lambda_2

Bonjour,
je vois pas ce que tu veux dire désolé. Il s'agit de trouver l'inconnue $P_i$

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