Niveau master

Entropie d'un état de Bell

Posté par
zebrico 19-03-23 à 18:23

Bonjour,

Je souhaite calculer l'entropie de Von Neumann d'un état de Bell $|+\rangle = 1/2(1\ 1)$ .
La matrice densité s'écrit $\rho = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1& 1 \end{pmatrix}$ .

Pour prendre le logarithme on doit donc d'abord diagonaliser mais le spectre est {0,1}.
Donc le logarithme donne une valeur infinie.

Donc je régularise la matrice densité en écrivant $\rho' = \rho+\epsilon I_2$ où $\epsilon\ll 1$ et $I_2$ la matrice identité de taille 2.
J'obtiens donc les mêmes matrices de passage $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \&\quad P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ avec la matrice diagonale $D = \begin{pmatrix} \epsilon & 0 \\ 0 & 1+\epsilon \end{pmatrix}$ .

J'ai vérifié que $\rho'= PDP^{-1}$ mais quand après je souhaite appliquer la formule pour l'entropie $S = Tr[\rho\cdot ln(\rho)]$ . Je note $S = Tr(M)$ avec $M= ln(1+\epsilon)\cdot \rho$ dont la trace ne me donne pas le $ln(2)$ comme indiqué là:

Quelqu'un voit où je me suis planté?
Merci d'avance!