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Entropie d'un circuit RC

Posté par
nexide
13-06-18 à 15:32

Bonjour, je voudrais del'aide ou des réponses pour ce problème :

On considère un circuit rc, constitué d'un condensateur de capacité c monté en série avec une
résistance r. On rappelle les lois suivantes de l'électrocinétique.
- La charge q(t) sur l'armature du condensateur qui reçoit le courant électrique i = \frac{dq}{dt}est reliée
à la tension v(t) aux bornes de ce condensateur par q = cv. Cette relation est l'équation d'état du
système thermodynamique que constitue le circuit rc.
- Le courant i est dissipatif en raison de la présence de la résistance (effet Joule), aussi il est nul à
l'équilibre thermodynamique.
- Supposant le condensateur de géométrie cylindrique, avec des armatures de surface s distantes de
d, sa capacité estc=\frac{\epsilon s}{d}  où\epsilon = \epsilon(T) est la permittivité du diélectrique, fonction uniquement de la température T.
Le circuit reçoit de l'énergie :
- d'un thermostat de température T_0,
- d'un générateur de force électromotrice (fem) e, le travail communiqué au système étant \delta W=vdq

Avec U et S désignant l'énergie interne et l'entropie du circuit, l'identité thermodynamique est
donc écrite dU = T dS + v dq. On pose

TdS = Cq dT + \lambda dq (1)

C_q est la capacité calorifique à charge constante et \lambda= \frac{qT \epsilon'}{\epsilon c} un autre coefficient calorimétrique.

1-La capacité calorifique C_q dépend-elle de q ?
Je pense que oui en divisant l'équation (1)  par T et intégrant \lambda sur q.

Le condensateur est initialement déchargé. À l'instant initial t = 0, on ferme le circuit. On charge
alors le condensateur sous la fem constante e et on suppose que la transformation se déroule de
manière isotherme. À la fin de l'opération, le condensateur porte la charge totale qf = ce.

2-Calculer la variation d'entropie de l'univers \Delta S_{univ}. Conclure.

\Delta S_{univ}=\Delta S_{thermostat}+\Delta S

Mon problème est l'expression de \Delta S_{thermostat},je ne sais pas comment l'exprimer.

Merci.

Posté par
vanoise
re : Entropie d'un circuit RC 13-06-18 à 16:43

Bonjour
Question 1 : elle se démontre en considérant  dS comme une différentielle exacte vérifiant le théorème de Schwarz.
Question 2 : Si le système reçoit la quantité de chaleur Q du thermostat, le thermostat reçoit du système la quantité de chaleur (-Q). Le thermostat garde la température To fixe. Puisque l'entropie est une fonction d'état, on peut calculer la variation d'entropie du thermostat en suivant un chemin fictif réversible isotherme ; cequi conduit immédiatement à :

\Delta S_{th}=-\frac{Q}{T_{0}}

Posté par
nexide
re : Entropie d'un circuit RC 13-06-18 à 16:48

Merci,je comprend mieux maintenant, mais à quoi est egale  Q ?

Posté par
vanoise
re : Entropie d'un circuit RC 13-06-18 à 23:09

As-tu bien compris ma réponse concernant la question 1 ? Je n'en suis pas sûr ! Ta réponse est fausse. En appliquant le théorème de Schwarz à l'expression fournie de dS et en tenant compte de l'expression fournie de , on démontre :

\left(\frac{\partial C_{q}}{\partial q}\right)_{T}=0
Cela n'est pas précisé mais je pense qu'il faut considérer Cq également indépendant de T donc constant.
En parlant de l'énoncé : je ne sais pas s'il s'agit d'un résumé ou de la version intégrale ; en tous cas, j'y relève plusieurs incohérences et imprécisions.
1° : quel est le système thermodynamique étudié : le condensateur seul ou l'ensemble (r,c) ou le circuit tout entier ? Ton titre  et une phrase de l'énoncé suggère qu'il s'agit de l'ensemble (r,c), une autre phrase précise qu'il s'agit du circuit donc de l'ensemble {r,c,générateur}. Les équations fournies concernant dU et dS suggèrent qu'il s'agit seulement du condensateur. La précision est indispensable pour savoir s'il faut ou pas tenir compte de la chaleur produite par effet Joule lors de la charge. Comment répondre de façon rigoureuse dans ces conditions ?
2° : L'équation q=c.v caractérise l'état du condensateur, pas l'état de l'ensemble (r,c).
3° : Tu parles d'un échange de chaleur avec un thermostat de température To. Quel est la température initiale du condensateur ? Si l'état initial et l'état final sont des états d'équilibre thermique, la température initiale et la température finale sont peut-être égale à To mais rien n'est vraiment clair à ce sujet !
4° : important aussi : le condensateur possède deux armatures, l'une qui acquiert la charge q, l'autre la charge -q ; l'expression de la capacité concerne un condensateur plan, pas un condensateur cylindrique.

Posté par
nexide
re : Entropie d'un circuit RC 13-06-18 à 23:22

vanoise @ 13-06-2018 à 23:09

As-tu bien compris ma réponse concernant la question 1 ? Je n'en suis pas sûr ! Ta réponse est fausse. En appliquant le théorème de Schwarz à l'expression fournie de dS et en tenant compte de l'expression fournie de , on démontre :

\left(\frac{\partial C_{q}}{\partial q}\right)_{T}=0
Cela n'est pas précisé mais je pense qu'il faut considérer Cq également indépendant de T donc constant.


Oui je me suis trompé dans mon calcul mais j'ai compris la remarque.

Je n'ai pas omis d'information (sauf des schémas et que d est la distance entre les 2 armatures), c'est  l'énoncé complet, moi aussi il me parait imprécis.

A-t-on bien  \Delta S_{univ}=0 ( un processus réversible) ?

Posté par
vanoise
re : Entropie d'un circuit RC 14-06-18 à 12:18

Voici une réponse possible mais attention : je ne suis pas sûr qu'il s'agisse de celle demandée par le concepteur de l'énoncé compte tenu du caractère très incomplet de celui-ci. Je considère comme système thermodynamique le condensateur seul. Je suppose, comme dit dans l'énoncé, la charge isotherme. Je suppose le condensateur en équilibre avec le milieu ambiant qui constitue un thermostat de température To. Le condensateur étant en équilibre thermique nécessairement à l'état final et à l'état initial, cela conduit finalement à : T = constante = To.
Autre remarque : il faut considérer '=constante soit =f(T) : fonction affine de T ; cela non plus n'est pas précisé...
Dans ces conditions la variation d'entropie du condensateur s'écrit :

\Delta S=\intop_{0}^{q_{f}}\frac{\lambda}{T}\cdot dq=\intop_{0}^{q_{f}}\frac{\varepsilon'}{\varepsilon.c}\cdot q\cdot dq=\frac{\varepsilon'}{2\varepsilon.c}\cdot q_{f}^{2}

La variation d'énergie interne du condensateur s'écrit :

\Delta U=\intop_{0}^{q_{f}}\left(\lambda+v\right).dq=\intop_{0}^{q_{f}}\left(\frac{q.T_{0}.\varepsilon'}{\varepsilon.c}+\frac{q}{c}\right).dq=\frac{T_{0}.\varepsilon'}{2\varepsilon.c}\cdot q_{f}^{2}+\frac{q_{f}^{2}}{2c}

L'énergie électrique reçue a pour expression :

W=\intop_{0}^{q_{f}}v.dq=\intop_{0}^{q_{f}}\frac{q}{c}\cdot dq=\frac{q_{f}^{2}}{2c}

D'où l'expression de la chaleur reçue :

Q=\Delta U-W=\frac{T_{0}.\varepsilon'}{2\varepsilon.c}\cdot q_{f}^{2}

La variation d'entropie du thermostat est, comme démontré précédemment :

\Delta S_{th}=-\frac{Q}{T_{0}}=-\frac{\varepsilon'}{2\varepsilon.c}\cdot q_{f}^{2}

Cela conduit bien à :

\Delta S_{univ}=\Delta S+\Delta S_{th}=0

La charge peut être considérée comme réversible.
Encore un fois : sous toutes réserve...
Remarque : à titre d'approfondissement, tu pourrais démontrer l'expression fournie de à l'aide du théorème de Schwarz appliqué à dS et à dU...

Posté par
nexide
re : Entropie d'un circuit RC 14-06-18 à 14:54

Merci de votre réponse mais l' énergie U et l' entropie S sont celles du circuit d' après l' énoncé (sous-entendu resistance et condensateur ).
 \Delta S_{univ}=\Delta S+\Delta S_{th}+\Delta S_{generateur}=\Delta S+\Delta S_{th}+\frac {W}{T_0}=0 c'est forcément une transformation réversible,non ?

Posté par
vanoise
re : Entropie d'un circuit RC 14-06-18 à 20:33

Les expression de dU et dS fournies ne sont cohérentes que si on choisit comme système le condensateur. Sinon, il faudrait prendre en compte l'énergie fournie par le générateur, l'énergie perdue par effet Joule... Tu vois bien que les expressions de dU et dS prennent en compte les caractéristiques du condensateur mais pas la résistance r  et pas la f.é.m. du générateur.
L'énoncé est manifestement incohérent comme déjà expliqué. Dans ces conditions, j'ai choisi de prendre quelques libertés pour obtenir quelque chose de cohérent. Tu en fais ce que tu veux ! Je me pose quelques questions sur la personne qui a élaboré un tel énoncé...

Posté par
nexide
re : Entropie d'un circuit RC 14-06-18 à 20:47

La question suivante (je n'ai pas mis toutes les questions mais c'est bien tout l'énoncé) demande quelle est la perte par effet Joule et de donner \frac{dS_{univ}}{dt}.
Quand pensez vous ?

Posté par
nexide
re : Entropie d'un circuit RC 14-06-18 à 20:48

*Qu'en pensez-vous ?

Posté par
vanoise
re : Entropie d'un circuit RC 14-06-18 à 23:08

Tu aurais dû fournir dès le début cette question ; connaître dès le départ toutes les questions d'un problème aide ,du moins quand l'énoncé est logiquement construit, à comprendre...
Puisque j'ai précédemment raisonné sur le système formé du seul condensateur, j'ai en fait démontré :
Sthermostat +Scondensateur=0
Le générateur fournit au système {r,c} l'énergie électrique :

q_{f}.e=c.e^{2}=\frac{q_{f}^{2}}{c}

J'ai démontré que le condensateur en se chargeant en absorbe la moitié (W du message précédent). La différence représente l'énergie perdue par effet Joule :

E_{Joule}=\frac{1}{2}q_{f}.e=\frac{1}{2}c.e^{2}=\frac{q_{f}^{2}}{2c}

Cette énergie est reçue sous forme de chaleur par le milieu ambiant de température de température fixe , ce qui fait augmenter son entropie de : \frac{q_{f}^{2}}{2c.T_{0}}

En tenant compte de r, on obtient alors une variation d'entropie :

 \\ \Delta S_{univ}=\frac{\varepsilon'}{2\varepsilon.c}\cdot q_{f}^{2}-\frac{\varepsilon'}{2\varepsilon.c}\cdot q_{f}^{2}+\frac{q_{f}^{2}}{2c.T_{0}}=\frac{q_{f}^{2}}{2c.T_{0}}

Il y a création d'entropie à cause de l'effet Joule qui est un phénomène irréversible.
La puissance reçue par le milieu ambiant est la puissance fournie par effet Joule :

P_{Joule}=r.i^{2}=r.\left(\frac{dq}{dt}\right)^{2}

\frac{dS_{univ}}{dt}=\frac{P_{Joule}}{T_{0}}=\frac{r}{T_{0}}.\left(\frac{dq}{dt}\right)^{2}

Posté par
nexide
re : Entropie d'un circuit RC 14-06-18 à 23:45

Merci de vous etre donné la peine de refaire le calcul de \Delta S_{univ}.
Je comprends mieux l'ambiguité de S du circuit en prenant en compte l'effet Joule qui dissipe de la chaleur vers  le thermostat.

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