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enroulement d'un fil autour d'un cylindre
Bonjour j'essaye de faire un exercice dans lequel il est question d'un fil qui s'enroule autour d'un cylindre vertical de rayon R. Le fil de longueur l est attaché d'une part au cylindre en I et d'autre part à un point M. A t=0, le fil est tendu et (IM) est perpendiculaire au rayon du cylindre. M est lancé avec une vitesse v(0) perpendiculaire à (IM). M subit des frottements solides de coef f de la part du sol.
Je n'arrive pas à déterminer la vitesse de M en fonction du temps: l'expression que je trouve est v=-fgt+v(0) mais cela ne correspond pas avec la 1ère partie de l'exercice où on néglige les frottements.
Pouvez-vous m'aider?
J'ai utilisé la 2ème loi de Newton: vect(P)+vect(Rn)+vect (Rt)+ vect(T)=m*vect(a) ie vect (Rt)+ vect(T)=m*vect(a)
Dans la base (I',vect(u(r)), vect(u(théta)))(I' est tel que I'M est la partie du fil non enroulée, donc I' est sur le cercle),
vect (Rt) est selon vect(u(r)) car il est colinéaire au vecteur vitesse qui est selon vect(u(r)) (je l'ai montré avant cette question).
vect (T) est selon vect(u(théta))
vect(a)=d(vect(v))/dt= -d(v*vect(u(r)))/dt
Je trouve alors que la composante de vect (a) selon vect(u(r)) est , en dérivant, -d(v)/dt.
Donc on a Rt=-m*d(v)/dt
De plus Rt =fmg.
En intégrant par rapport au temps je trouve alors v=-fgt+v(0)
Il doit y avoir une erreur mais je ne la trouve pas.
dans la question qui suit il faut déterminer théta en fonction du temps (théta est l'angle entre le point d'attache du fil et I').
Or j'ai montré dans les questions précédentes que vect(v)=thétapoint*(R*théta-l)*vect(u(r)).
J'ai donc cherché à résoudre thétapoint*(R*théta-l)=fgt-v(0).
J'ai intégré cette relation et j'ai du résoudre une équation du second degré en théta.
J'ai trouvé deux solutions mais une est une fonction du temps décroissante (ce qui est impossible car le mouvement est dans le sens des théta croissants) et l'autre ne vaut pas 0 quand t=0 et croit plus rapidement que celle que j'ai trouvé quand on négligeait les frottements.
C'est pourquoi je pense que l'erreur vient de l'expression de la vitesse.
=(l+
(l²-R*t(2v(0)-fgt)))/Rsous la racine, on a un polynome en t qui est croissant puisque t>0.
Puis on compose avec la fonction racine qui est croissante
l²-R*t(2v(0)-fgt)=l²-2R*t*v(0)+R*f*g*t²
si on dérive on obtient: 2Rfgt-2Rv(0)qui est positif quand t > v(0)/(fg)
La fonction est décroissante seulement qd t<v(0)/(fg)
Or dans l'énoncé, v(0)= 0,1m/s et d'après quelques valeurs de f données en cours (f est autour de 1)
Le temps maximal est très faible, il est bien plus faible que le temps maximal trouvé sans frottements. Or ça devrait être l'inverse
0Je suis d'accord sur un point, elle n'est pas bonne...
Seulement, n'a-t-on pas, pour le mouvement considéré, ?
Quelqu'un a écrit précédemment:
La fonction est décroissante seulement qd t<v(0)/(fg)
ce que l'on peut aussi écrire sous la forme v(0)-fgt>0, non?
Parce que ce n'est pas la bonne tout simplement. Des deux solutions, tu as choisi celle qui est décroissante sur l'intervalle de temps qui nous intéresse.
Normalement, l'autre solution doit s'annuler en 0.
Merci, c'est bien l'autre expression qui est bonne, je l'avais éliminée car je prenais des valeurs de f autour de 1 alors que dans ce cas elles sont de l'ordre de 10^-3. Merci beaucoup
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