Niveau maths sup

Energie mécanique, équation du mouvement

Posté par
Fractal 02-11-07 à 12:46

Bonjour

Le système étudié est une masse, astreinte à se déplacer sur un demi cercle et reliée à un ressort. Il s'agit d'un système à un degré de liberté, dans lequel la position de la masse est repérée par un angle $3$\theta$ .
Le référentiel d'étude est galiléen, et les seules forces agissant sur la bille sont :
- son poids
- la réaction du demi-cercle
- la tension du ressort
Je ne fais pas le schéma, il n'est à mon avis pas utile pour la question que je me pose.

On trouve dans une question l'énergie mécanique totale E du système :
$4$E=\frac12Ma^2\dot\theta^2-2aKl\cos\frac\theta2+(a^2K-Mga)\cos\theta$ (où M, a, K, l, g sont des constantes)

Puis on nous demande d'en déduire l'équation différentielle du mouvement.
Pour ce faire, j'ai dit que le système n'était soumis qu'à des forces conservatives, donc que son énergie mécanique totale était conservée, ce qui veut dire que sa dérivée est nulle.
La problème se pose pour le calcul de la dérivée : par rapport à quoi dériver? au temps ou à $3$\theta$ ?
Instinctivement, je me suis mis à dériver par rapport au temps, mais le gros problème est que $3$\frac{dE}{dt}=\frac{dE}{d\theta}\dot\theta$ et donc en dérivant par rapport au temps on obtient la même équation qu'en dérivant par rapport à $3$\theta$ , mais avec un facteur $3$\dot\theta$ en plus !
Ce qui est embêtant avec ça, c'est qu'à la question d'après on nous demande les positions d'équilibre possibles pour le système, et en se fiant à la première équation différentielle, le $3$\dot\theta$ implique que toute position est une position d'équilibre.

Ce que j'aimerais savoir est donc d'une part si c'est effectivement par rapport à $3$\theta$ qu'il faut dériver et non par rapport au temps, et d'autre part qu'est-ce que ça change? Si l'énergie mécanique est conservée, pourquoi est-ce que le fait de dériver par rapport à $3$\theta$ ou au temps changerait tant de choses? De plus l'autre problème qui apparaît quand on dérive par rapport au temps est la non unicité de la solution, à conditions initiales données, ce qui est relativement embêtant en physique.
Alors pourquoi faudrait-il ici dériver par rapport à $3$\theta$ , alors que dans le cours, là où on parle de la conservation de l'énergie mécanique dans un système conservatif, la dérivation est faite par rapport au temps.

Merci d'avance

Fractal

_{en espérant qu'un physicien passe par là...}

Posté par re : Energie mécanique, équation du mouvement 02-11-07 à 15:43

Bonjour Fractal,

Tu poses une très bonne question ! Je vais y répondre sur un exemple plus simple car les cosinus de ton problème n'ont pas d'intérêt ici.
Suppose un point matériel glissant sans frottement sur une tige horizontale et attaché à un ressort de raideur k.

L'équation du mouvement est
mx'' = -kx (principe fondamental de la dynamique)

Pour obtenir la conservation de l'énergie, on multiplie les deux membres par x', ce qui donne
mx''x' = -kxx'
et on intégre (par rapport à t):
(1/2)mx'² + (1/2)kx² = Cste.

L'équation de conservation de l'énergie est donc une conséquence du principe fondamental de la dynamique, mais elle ne lui est pas équivalente.
On l'a obtenue en multipliant par x', ce qui introduit des solutions parasites, qu'on retrouve d'ailleurs naturellement en dérivant.

Comme dans ton problème, tu écris d'abord la conservation de l'énergie, que tu dérives ensuite, il est normal que tu tombes sur ces troublantes solutions parasites, qui n'ont pas de sens physique.

Cela dit, je te confirme qu'il faut dériver par rapport au temps.

Cordialement
Frenicle

Posté par re : Energie mécanique, équation du mouvement 02-11-07 à 16:03

Lorsque l'énergie mécanique s'exprime à partir d'un unique paramètre de position ( comme ici, avec $\theta$ ), il est évident que dériver par rapport au temps ou par rapport à ce paramètre est équivalent. Le seul cas posant éventuellement problème étant celui où une variation temporelle ne s'accompagne pas d'un déplacement ( $\theta\limits^{.}=0$ , vitesse nulle, masse immobile) où dériver par rapport à la position spatiale perd un peu de son sens...

Mais comment trouves-tu une infinité de solutions ?

Posté par re : Energie mécanique, équation du mouvement 02-11-07 à 16:16

Merci pour ton explication frenicle

Mais du coup comment j'en déduis l'équation du mouvement?
Il suffit que je dise que j'enlève ce facteur $3$\dot\theta$ qui m'embête pour obtenir l'équation différentielle du mouvement ou est-ce que je ne peux pas obtenir l'équation du mouvement à partir de l'énergie mécanique et il faut que je revienne au principe fondamental de la dynamique?

donaldos -> tu peux obtenir une infinité de solutions en prenant une solution particulière de l'équation sans le $3$\dot\theta$ , et en considérant que le mouvement est constant à partir d'une certaine position où la vitesse s'annule.
Le mouvement étant oscillant, il pourra devenir stationnaire à une infinité de moments.
Mais toutes ces solutions n'ont néanmoins aucun sens physique.

Fractal

Posté par re : Energie mécanique, équation du mouvement 02-11-07 à 16:26

Bonjour à tous

Fractal > Nous notre prof ne s'est pas préoccupé du facteur theta point, il a dit que c'était un cas à exclure (voir explication de donaldos).

Posté par re : Energie mécanique, équation du mouvement 02-11-07 à 17:32

>Fractal

En général, le théorème de l'énergie cinétique sert plutôt à résoudre l'équation du mouvement qu'à l'écrire, mais ici l'exercice suggère de faire l'inverse.

J'aurais tendance à écarter simplement la facteur ' qui n'a pas de sens physique.

Par ailleurs, retrouver directement cette équation en analysant les forces en présence ne peut pas faire de mal

Posté par re : Energie mécanique, équation du mouvement 03-11-07 à 15:37

Oki, merci beaucoup

Fractal

Posté par re : Energie mécanique, équation du mouvement 03-11-07 à 17:25

De rien

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