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Energie massique

Posté par
Skapgoat 21-04-17 à 16:05

Bonjour,

Voici mon énoncé: L'énergie dont dispose un coureur évolue au cours du temps en fonction des apports (consommation d'oxygène) et des pertes liées à l'effort physique (force motrice). On raisonnera sur l'énergie massique du coureur (énergie par unité de masse) notée $e\left(t \right)$ . Cette énergie massique vaut initialement $e_{0}$ et son évolution vérifie l'équation différentielle:

$\frac{de\left(t \right)}{dt}=\sigma -\alpha _{M}\left(t \right)v\left(t \right)$

où $\sigma$ , supposé constant, est l'apport d'énergie massique par unité de temps et où l'équation du mouvement est:
$\frac{dv\left(t \right)}{dt}+\frac{v\left(t \right)}{\tau }=\alpha _{M}\left(t \right)$

Je dois ici expliquer l'origine du terme $a_{M}\left(t \right)v\left(t \right)$ en m'aidant de ce que je connais du travail d'une force.

Ici, à part réciter la définition du travail d'une force: $\delta W=\vec{F}.d\vec{u}$ je ne sais pas trop quoi faire... je sais que la force motrice n'est pas illimité donc $\alpha _{M}$ présente une valeur maximale, et l'énergie massique du coureur $e\left(t \right)$ doit rester positive en tout temps $t$ .

Pourriez-vous m'aider? Merci !

Posté par re : Energie massique 21-04-17 à 21:52

Bonsoir
La perte d'énergie par unité de temps est égale à la puissance des forces résistant à l'avancement du coureur et la puissance d'une force est le produit scalaire du vecteur vitesse par le vecteur force...
Je te laisse réfléchir à tout cela et proposer une solution.

Posté par re : Energie massique 22-04-17 à 01:48

lors

vanoise @ 21-04-2017 à 21:52

Bonsoir
La perte d'énergie par unité de temps est égale à la puissance des forces résistant à l'avancement du coureur et la puissance d'une force est le produit scalaire du vecteur vitesse par le vecteur force...
Je te laisse réfléchir à tout cela et proposer une solution.

Alors, sachant que la force de frottement (force résistant à l'avancement du coureur) est égale à:
$\vec{F_{r}}=-\alpha\: \vec{v\left(t \right)}$
(avec $\alpha$ un coef de frottement, on obtient pour la perte d'énergie par unité de temps :
$P_{resistance}=\vec{F}_{resistance}\times \vec{v}(t)$ avec $F=m.a$
et donc... euh non, je ne vois pas... $a_{M}\left(t \right)v\left(t \right)$ serait une force par une vitesse donc un travail...

Posté par re : Energie massique 22-04-17 à 02:12

En fait vu que $\sigma$ correspond à l'apport d'énergie massique, je me dis que le reste de l'expression $-\alpha _{M}\left(t \right)v\left(t\right)$ ça devrait être l'énergie consommée en fonction de la vitesse, c'est pour ça que c'est négatif. La variation d'énergie massique du coureur, c'est égal à l'apport moins la dépense de cette énergie....

Posté par re : Energie massique 22-04-17 à 05:00

Je pars de l'équation différentielle vérifiée par la vitesse en multipliant chaque terme par la masse m du coureur :

$m\frac{dv(t)}{dt}=-\frac{m}{\tau}.v(t)+m.\alpha_{M}(t)$

Par identification, on peut considérer le coureur comme soumis à deux forces horizontales (le poids vertical est compensé par la réaction normale su sol) :

1° : la résistance de l'air que tu as écrite dans ton dernier message sous la forme : $\overrightarrow{F_{r}}=-\alpha\cdot\overrightarrow{v\left(t\right)}$ . Elle correspond au premier terme de l'équation différentielle avec : $\alpha=\frac{m}{\tau}$ . La puissance de cette force peut s'écrire :

$P_{r}=\overrightarrow{F_{r}}\cdot\overrightarrow{v\left(t\right)}=-\alpha\cdot v(t)^{2}$

Cette puissance n'est pas celle dépensée par le coureur puisque la force considérée ici est exercée par l'air ...

2° : une force motrice qui permet au coureur d'avancer et d'accélérer. C'est en réalité une force exercée par le sol sur les chaussures du coureur (imagine le cas extrême d'une piste parfaitement verglacée avec un coureur munie de chaussures aux semelles parfaitement lisses : il ne pourrait pas avancer). Par identification avec l'équation différentielle, cette force est horizontale et orientée dans le sens du mouvement. Son intensité est :

$F_{M}=m.\alpha_{M}(t)$

La puissance de cette force est :

$P_{M}=F_{M}\cdot v(t)=m.\alpha_{M}(t)\cdot v(t)$

Principe des actions réciproques : si le sol exerce sur le coureur la force F_M, le coureur exerce sur le sol une force opposée de même intensité en « poussant sur ses jambes ». Le coureur perd donc, par unité de temps, une énergie égale à P_M.

Passage aux grandeurs massiques et on obtient la relation proposée dans l'énoncé.