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énergie dans le roulement d'une sphère
Voici un problème dont la solution est paraît-il 2,7 R alors que je trouve 2,5 R! Voudriez-vous m'aider? Un grand merci déjà!
Une petite bille pleine de masse m et de rayon r roule sans glisser sur une rampe qui se termine par une boucle circulaire. Elle part du repos à partir d'un point situé sur la partie rectiligne de la piste. De quelle hauteur initiale h au-dessus du bas de la rampe doit-on laisser aller la bille pour que celle-ci soit sur le point de perdre le contact avec la piste en haut de la boucle (le rayon de la boucle est R; supposez que R>>r)?
Il faut que la force centrifuge sur la bille lorsqu'elle passe en haut de la boucle soit >= au poids de la bille.
Avec v la vitesse minimum du centre d'inertie de la bille au point haut de la boucle , on doit donc avoir:
mv²/R = mg
v² = gR
v = racinecarrée(gR)
Energie cinétique de la bille à cet endroit: Ec = (1/2).m.v² + (1/2).J.w² (Energie de translation + énergie de rotation)
Avec J = (2/5) mr² et W = v/r (W étant la vitesse angulaire de la bille autour de son centre)
Ec = (1/2).m.v² + (1/2).(2/5) mr².v²/r²
Ec = (1/2).m.v² + (1/5).m.v²
Ec = 0,7.m.v²
Ec = 0,7.m.gR
Ec = 0,7.m.g.R
E potentielle de la bille au sommet de la boucle (réference des altitude au niveau du bas de la boucle)
Ep = mg.2R
E mécanique de la bille: Em = Ec + Ep
Em = 0,7.m.g.R + 2mg.R
L'énergie mécanique de la bille au moment où elle est lachée sans vitesse itiale : Em = mgh
On doit donc avoir : mgh = 0,7.m.g.R + 2mg.R
h = 0,7.R + 2.R
h = 2,7 R
C'est la valeur minimum de h permise pour que la bille puisse faire le tour de la boucle sans perdre contact avec la piste.
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Attention, je n'ai rien relu, vérifie.
J'avais oublié l'énergie de rotation à la position "haut de boucle".
Je te remercie chaleureusement de m'avoir aidé si vite et si bien!
Quel magnifique site!
Oserais-je encore poser une question concernant ce problème? Allons-y!
Si on laisse aller la bille d'une hauteur 6R au-dessus du bas de la rampe, quelle est la composante horizontale de la force résultante agissant sur elle au point Q? (Q est sur la boucle, le premier rencontré par la bille, au même niveau que le centre de la boucle.)
Je promets de ne plus parler de ce problème ensuite!!!
La différence d'énergie potentielle de la bille entre le départ (h = 6R) et le point Q (altitude = R) est :
Delta Ep = mg(6R - R) = 5mgR
Donc l'énergie cinétique de la bille en Q est 5mgR.
Ec = 0,7.m.v²
0,7.mv² = 5mgR
v² = (5/0,7).gR
La force centrifuge sur la bille en Q est : Fc = mv²/R = (5/0,7)mg, elle est horizontale et dirigée vers l'extérieur du cercle.
Cette force est compensée par la réaction du support (qui a la même norme que Fc, la même direction, mais de sens opposé (donc vers l'intérieur du cercle).
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Toujours sans relecture.
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