Niveau licence

Electrostatique volule d'une sphère

Posté par
Lelaitcbon 08-09-20 à 19:47

Bonsoir je n'arrive pas à comprendre un point :

dans un des corrigés de mon exo concernant la densité volumique rho=dq/dV, il est écrit pour le volume d'une sphère
$V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$
donc $dV=4\pi r^{2}$

j'en déduis qu'au final dV est la derivée de V par rapport a r

mais lorqu'on me demande la norme du champ E en un point M situé a la distance de r<R (R rayon de la sphère) :

j'ai tendance à dire que (vecteur) $dE=\frac{Kdq}{r^{2}}$
$=\frac{K\rho dV}{r^{2}}=\frac{K\rho 4\pi r^{2}}{r^{2}}$

puis on me dit que c'est faux et que enfaite il fallait utiliser $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$ et non $dV=4\pi r^{2}$

autre exemple ;
Soit une sphère de centre O et de rayon R que l'on
charge en volume avec une charge de Q. On note r, la distance d'un
point M de l'espace par rapport à O et p la densité volumique de
charge qui est constante sur tout le volume de la sphère. De plus, on
a Eintle champ situé à l'intérieur de la sphère et Eext le champ situé
à l'extérieur de la sphère.

on cherche une expression de rho :
il est écrit dans la correction que $\rho =\frac{dQ}{dV}=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{4/3\pi R^{3}}$

donc la je comprends pas pourquoi on a pas directement changé le dV de départ en 4pir^2 et pourquoi les deux d du $\rho =\frac{dQ}{dV}$ sont partis ?,

en soit comment savoir quand dV peut etre remplacé par la formule du volume ou par sa dérivée ?
j'espere que j'ai bien expliqué mon problème

merci de me répondre

Posté par re : Electrostatique volule d'une sphère 08-09-20 à 20:20

Bonsoir
Je pense que tu confond dérivée et différentielle.
4.pi.r² est l'aire de la surface de la sphère de rayon r.

Posté par re : Electrostatique volule d'une sphère 08-09-20 à 21:13

d'accord merci
je comprends mieux
mais tout de même je suis quand même perdu sur quelle formule utilisée quand je rencontre un dV ?

Posté par re : Electrostatique volule d'une sphère 08-09-20 à 21:14

je veux dire :
pourquoi dans mon dernier exemple, les d de la fraction sont parties ? ils peuvent s'annuler ?
je pensais qu'il fallait integrer l'expression pour pouvoir faire partir les d, nest ce pas ?

Posté par re : Electrostatique volule d'une sphère 08-09-20 à 22:01

l te faudrait vraiment revoir ton cours de math sur les différentielles. Je te résume l'essentiel utile ici. Soit la fonction f telle que :

$V=f(r)=\frac{4}{3}\pi.r^{3}$

La différentielle de V est :

$dV=f'(r).dr=4\pi.r^{2}.dr$ (ne pas oublier le « dr », sinon la relation n'est pas homogène !)

Une différentielle correspond toujours à une variation élémentaire : ici la variation élémentaire de volume de la boule quand r varie de dr. Il s'agit donc aussi du volume élémentaire de la portion d'espace comprise entre la sphère de rayon r et la sphère de rayon (r+dr).

Si la densité volumique de charge est la même en tout point de la boule de rayon R, elle peut s'exprimer de différentes manières.

La charge élémentaire comprise entre la sphère de rayon r et la sphère de rayon (r+dr) est :

$dQ=\rho.dV=\rho.4\pi.r^{2}.dr$

Puisque $\rho$ a même valeur en tout point, la charge totale est tout simplement le produit du volume de la boule de rayon R par la densité volumique de charge :

$Q=\frac{4}{3}\rho.\pi.R^{3}$

Posté par re : Electrostatique volule d'une sphère 08-09-20 à 23:09

Merci beaucoup je comprends beaucoup mieux expliqué ainsi

donc si je comprends bien, lorsque rho est identique en tout point, je peux ecrir que rho=Q/V

ps : je suis en premiere annee de medecine et je n'ai tout simplement pas eu de cours sur les differentielles

Merci je vais essayer de faire des exercices

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