Niveau maths sup

Electrostatique, distribution des charges.

Posté par
alexyuc 10-04-13 à 13:00

Bonjour,

J'étudie le sujet de l'ENAC 2010, et je ne suis pas d'accord avec l'un des résultats donnés par le corrigé (question 4 ici)...

Soit une sphère de rayon $R$ de centre $O_1$ , de charge volumique uniforme $\rho_e$ possédant une coquille sphérique de même centre et même rayon, d'épaisseur négligeable et de charge surfacique uniforme $\sigma_e$

1. Avec la méthode de la surface de Gauss on trouve facilement l'expression de E(M), pour un point M, situé à l'intérieur de la sphère :
$E(M) = \frac{\rho_e}{3\epsilon_0} r$ (où $r$ est la distance $O_1M$

2. Si le point M est à l'extérieur de la sphère :
$E(M) = \frac{\rho_e R^3}{3\epsilon_0 r^2} + \frac{\sigma_e R^2}{\epsilon_0 r^2}$

3. On place maintenant, sur l'axe $(O_1z)$ une charge q, en un point $O_2$ à une distance $a > R$ de $O_1$ , telle que la distribution totale soit neutre.

On a donc $q = -Q_{int} = -(\frac{4}{3}\pi R^3 \rho_e + 4 \pi R^2 \sigma_e)$

4.Quelle est l'expression du champ total sur l'axe $O_1O_2$ en un point $M_1$ de côte $O_1M_1 = r$ telle que $r >> a$ ?

Je raisonne à nouveau avec la surface de Gauss, mais d'après la question précédente j'ai $Q_{int}' = Q_{int} + q = 0$

Donc je dirai $E(M) = 0$ .

D'après le corrigé,
$E(M) = \frac{qa}{2\pi\epsilon_0 r^3} \frac{O_1O_2}{||O_1O_2||}$

où $a = ||O_1O_2||$ .

Pourriez-vous m'expliquer ce résultat ?? Pourtant en quoi la méthode avec Gauss serait fausse et inutilisable ici ?

Merci pour vos explications !

Cordialement.

Posté par re : Electrostatique, distribution des charges. 10-04-13 à 15:09

Bonjour,

Ce que dit le Théorème de Gauss c'est:

$\int_{S}^{}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}= \frac{Q}{\epsilon o}$

où S est une surface fermée.

Ce n'est donc pas parce que le flux total à travers la surface est nul que le champ sera nul partout. Le théorème de Gauss que tu appliques dans le cas de la sphère et de la coquille chargées au début du problème pour exprimer le champ utilise "à fond" la distribution de charge constante et le choix d'une surface de Gauss sphérique.

Ici on te dit que r >> a ce qui doit vouloir dire que tu peux considérer la sphére comme ponctuelle.

Ce commentaire t'aide t il?

PS: je n'ai pas effectué le calcul, mais trouver E <> 0 le long de Oz me semble plus juste que trouver E = 0

Posté par re : Electrostatique, distribution des charges. 10-04-13 à 15:29

PS2: le corrigé me semble OK en faisant un développement au premier ordre de (r-a)², comme r >> a

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