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Electrostatique (Capacités et Coefficients d'influence)
Bonjour,
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider concernant un exercice d'électrostatique? Car j'ai vraiment du mal avec cette matière.
Voici le sujet :
On sait que lorsque 2 conducteurs massifs sont portés l'un, à un potentiel V1 et l'autre à un potentielle V2, ils prennent une charge totale Q1 pour le premier, et Q2 pour le second, ces charges étant réparties superficiellement sur chacun des conducteurs et en général de manière non uniforme.
On démontre alors qu'il existe une relation linéaire entre les charges et les potentielles :
V1= S11 Q1 + S12 Q2
V2 =S21 Q1+S22 Q2
Et : Q1 = C11 V1+ C12 V2
Q2 = C21 V1+ C22 V2
Avec C11>0 : Capacité du conducteur 1 en présence du second
C22> 0 : Capacité du conducteur 2 en présence du premier
C12=C21 <0 Coefficient d'influence entre les 2 conducteurs
Le problème tridimensionnel est ramené à un problème bidimensionnel qui peut être traité par l'analogie rhéoélectrique.
Vous montrerez que dans un système à deux dimensions, pour une charge totale Q1+Q2 non nulle, et quelle que soit sa répartition, le potentiel qu'elle produit à l'infini tend vers l'infini, ce qui est physiquement inacceptable. En revanche, si Q1 + Q2= 0, le potentiel produit à l'infini tend vers 0.
On en déduit que dans le système étudié Q2= -Q1 ce qui entraîne V2= - V1 avec
Q1= (C11-C12)V1= (C11-C12)/2 * (V1-V2)= CDeltaV ou C représente la capacité par unité de longueur de la ligne à 2 fils.
Si l'on connait (V1-V2) il suffit donc de déterminer Q1 expérimentalement pour obtenir C. Montrez alors de manière claire, que si l'on connait 2 équipotentielles fermées suffisamment proches l'une de l'autre; entourant le conducteur au potentiel V1, on peut déterminer la distribution de champ électrique sur l'équipotentielle intérieure puis en utilisant judicieusement le théoréme de Gauss, la charge par unité de longueur Q1 d'où C.
Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez m'apporter.
TOUT le problème ici est la dimension: maintenant le Théorème de Gauss s'applique pour le calcul de E le long d'une COURBE (et plus une surface comme en 3D) fermée qui délimite une SURFACE contenant une charge Q:
Si tu prend comme "surface" de Gauss un cercle centré sur ton système, dont le rayon est très grand, le détail de la distribution de charge ne joue plus aucun rôle (de loin TOUT ressemble à un point) ; le champ sera donc le même que celui créé par une charge ponctuelle Q placée au centre du cercle: E est donc radiale () et constant sur le cercle, sa composante radiale sort donc de l'intégrale, ce qui donne:
en intégrant ensuit cette valeur du champ selon r tu obtiens un potentiel qui croît de manière logarithmique ce qui répond a ta 1ere question.
La suite est plus simple, il suffit à mon avis de bien suivre les instructions de l'énoncé 
Je vous remercie pour cette aide. Je pense pouvoir avancer dans la résolution du problème maintenant. Mais, j'ai tout de même une question, le choix de cette surface de Gauss est-il vraiment possible, sachant que l'on parle ici de deux conducteurs massifs, respectivement aux potentiels V1 et V2. Ils seraient donc alors assimilés à deux charges ponctuelles, et non pas une, si j'ai bien compris?
Non, tu n'as pas compris le point essentiel: plus ta surface est loin de la distribution de charge, moins la forme de la distribution est importante.(de loin TOUT ressemble à un point)
Donc que ce soit une charge Q, 2 charges q1 et q2 telles que q1+q2=Q, ou une distribution QUELCONQUE de charge totale Q, si ta surface de Gauss est suffisamment loin de la distribution de charges, cette dernière est assimilable à un point (d'un point de vue mathématique cela revient à ne garder que l'ordre 0 du développement de Taylor de la fonction potentielle V).
Or on te demande le comportement ASYMPTOTIQUE de V, donc tu peux choisir une surface de Gauss arbitrairement grande, pour laquelle seule la charge totale de la distribution importe.
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