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Électrostatique

Posté par
Physical111 17-01-22 à 15:37

Bonjour à tous
J'ai un exercice merci beaucoup d'avance
•Deux charges électrique ponctuelles, identiques (qA = qB = q = +2 × 10-6C) sont
placées respectivement en A et B suivant l'axe Oz (OA=OB=a=30cm). Une troisième charge (Q = +4 ×10-6C ) est placée en M sur l'axe Ox à l'abscisse OM=x.
1. Calculer le champ électrostatique \vec{E}(M) crée par ces deux charges en un point M de
la médiatrice de [AB]. On note O le milieu de [AB] et on pose \vec{OM}=x \vec i
2. Déterminer l'expression de la force résultante \vec F exercée par les deux charges identique q sur la charge Q placée en M. Exprimer son module en fonction de x, a, q et Q.
3. Représenter graphiquement les quantités vectorielles \vec{E} et \vec F .
4. Montrer que le module F(x) passe par un maximum Fmax ≡ F(xmax). Calculer sa valeur.
5. Que devient l'expression de \vec E (M) si
q < 0 au point A. Faire un schémas
-----------------------------------------
Voici mes suggestions :
Voici le schéma que j'ai fait :
Électrostatique
1) \vec E(M)=\vec E_A+\vec{E_B}
•\vec{E}_A(M)=\dfrac{1}{4\pi \epsilon _0}\dfrac{q_A}{AM³}\vec{ AM}
\vec{E}_B (M)=\dfrac{1}{4\pi \epsilon _0}\dfrac{q_B}{BM³}\vec{ BM}
Or \vec{AM}=\vec{AO}+\vec{OM}=-a \vec k +x\vec i
•AM=\sqrt{x²+a²}
=>\vec{E_A}=\dfrac{q_A}{4\pi\varepsilon _0(x²+a²)^{\frac{3}{2}}}(x\vec i -a \vec k)
• de même \vec {BM }=\vec {BO }+\vec {OM}=a \vec k +x\vec i
BM=\sqrt{x²+a²}
\vec{E_B}=\dfrac{q_B}{4\pi\varepsilon _0(x²+a²)^{\frac{3}{2}}}(x\vec i +a\vec k)
D'où le champ au point M
\vec{E}=\dfrac{qx}{2\pi \varepsilon _0(x²+a²)^\frac{3}{2}}\vec i
2) \vec{F}(M)=Q\vec{E}(M)=\dfrac{Qqx}{2\pi \varepsilon _0 (x²+a²)^\frac{3}{2} } \vec i
3) \vec F et \vec E
Ont la même direction
4)
Une petite indications s'il vous plaît merci beaucoup d'avance

Posté par
vanoisere : Électrostatique 17-01-22 à 16:07

Bonjour
Très bien pour tout ce que tu as fait. La méthode que tu utilises pour obtenir la somme vectorielle est à mon avis la plus élégante et la plus rapide.
Pour la suite, il faut à mon avis commencer par remplir un tableau de variations pour :

P(x)=\dfrac{x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{\frac{3}{2}}};

Posté par
vanoisere : Électrostatique 17-01-22 à 16:17

Cette courbe pourra peut-être t'aider...

Électrostatique

Posté par
Physical111re : Électrostatique 17-01-22 à 16:39

D'accord merci beaucoup à vous
P'(x)=\dfrac{(-2x²+a²)\sqrt{x²+a²}}{(x^4+2a²x²+a^4)(x²+a²)}
Le signe de P' est celui de -2x²+a²
Avec a=30cm
D'où le tableau de variations :
Électrostatique

Posté par
vanoisere : Électrostatique 17-01-22 à 22:47

Ton expression de la dérivée peut se simplifier :

P'(x)=\frac{a^{2}-2 x^{2}}{\left(a^{2}+x^{2}\right)^{\frac{5}{2}}}
mais tu as trouvé l'essentiel : il s'agit bien d'étudier le signe de :
a^{2}-2 x^{2}

D'accord avec ta valeur de xmax mais, selon mes calculs :
P(x_{max})=\frac{2 \sqrt{3}}{9 a^{2}}\approx 4,28m^{-2}
si a=0,30m.
(La courbe que je t'ai fournie donne la bonne allure de la courbe mais a été tracée avec un système d'échelle arbitraire).

Posté par
Physical111re : Électrostatique 17-01-22 à 23:21

Merci beaucoup à vous
La courbe prouve que P(xmax)≈4,28m-2
D'où on a Montrer que le module F(x) passe par un maximum Fmax ≡ F(xmax) sa valeur est 4,28m-2

Posté par
vanoisere : Électrostatique 18-01-22 à 12:24

Et le facteur \frac{Q.q}{4\pi.\varepsilon_{o}} ?


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