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Electromagnétisme, milieu magnétique

Posté par
azer44170 08-12-21 à 21:06

Bonsoir,
je suis totalement bloqué à un exercice que j'essaie de résoudre et qui est le suivant :
Un matériau paramagnétique sphérique de rayon R est soumis à un champ magnétique extérieur \vec{B_0}=B_0\vec{e_z}=\mu _0 \vec{H_0} et il acquiert une aimantation \vec{M}= M\vec{e_z}.
J'ai déjà calculé : \vec{J_M}=\vec{0} , ainsi que : \vec{J_M^S}=M\sin \theta \vec{e_{\varphi}}.
Ensuite, premier bloquage :
" En sachant que \vec{A_m}=\frac{\mu _0}{3}\vec{M}\times \vec{r} et \vec{A}=\vec{B}\times \vec{r}/2, déterminer \vec{B_{M1}}, 1 pour le milieu intérieur et 2 pour l'extérieur".
J'ai\vec{A_m}=\frac {\mu _0}{3}\vec{M}\times \vec{r}=\frac {\mu _0}{3}{M}r\sin \theta \vec{e_{\varphi}} et donc : \vec{B_m}=2\vec{r}\times \vec{A_m}=-\frac {2\mu _0}{3}{M}r^2\sin \theta \vec{e_{\theta}}=\frac {2\mu _0}{3}r^2\vec{M}
Au lieu de \vec{B_m}=\frac {2\mu _0}{3}\vec{M}.
Je ne sais pas d'où provient mon erreur, sûrement un problème de notation car en effet, dans les formules comme \vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu },\vec{M}=\chi _m\vec{H},\vec{H}=\frac{\vec{B}}{\mu _0}-\vec{M}
je ne sais jamais si, par exemple pour \vec{B}, il s'agit de \vec{B_0},\vec{B_m},\vec{B_{tot}} ?? (En sachant que \vec{B_{tot}} = \vec{B_0} + \vec{B_{m}} à l'intérieur d'un milieu).
Peut-être que ça me débloquerait pour la question suivante " déterminer \vec{B_{m2}} au niveau de la surface de la sphère. Désolé, c'est un peu long...
Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
vanoisere : Electromagnétisme, milieu magnétique 08-12-21 à 23:37

Bonsoir
Ton résultat est nécessairement faux car il n'est pas homogène. M et H sont de même dimension physique et B est homogène au produit de M par une susceptibilité magnétique .Connaissant le potentiel vecteur Am créé par la matière aimantée, le champ magnétique créé par la matière aimantée s'en déduit par la relation classique entre le potentiel vecteur et le champ magnétique :

\overrightarrow{B_{m}}=\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{A_{m}}\right)

Il faut utiliser l'expression du rotationnel en coordonnées sphériques (voir formulaire en fin de ce document éventuellement : ). Cela conduit simplement, pour r<R, à :

\begin{cases} \\ B_{mr}=\frac{2\mu_{o}.M}{3}\cdot\cos\left(\theta\right)\\ \\ B_{m\theta}=-\frac{2\mu_{o}.M}{3}\cdot\sin\left(\theta\right) \\ \end{cases}

Soit, de façon plus simple :

\overrightarrow{B_{m}}=\frac{2\mu_{o}}{3}\cdot\overrightarrow{M}

Pour r>R : la méthode est analogue.

Les formules que tu évoques ensuite s'appliquent au champ magnétique total, parfois noté comme ici \vec{B_{tot}} mais le plus souvent noté simplement \vec B.

Posté par
azer44170re : Electromagnétisme, milieu magnétique 09-12-21 à 08:00

Merci beaucoup ! Je comprends mon erreur.
Pour déterminer \vec{B_{m2}} au voisinage immédiat de la surface vous auriez fait pareil ? Car alors : \vec{A_{m2}}=\vec{0} puisque dans le vide \vec{M}=\vec{0}.
J'ai utilisé la relation de passage avec : \vec{H_{m1}}=\vec{B_{m1}}/\mu, mais pas sûr que c'était ce qui était attendu...

Posté par
azer44170re : Electromagnétisme, milieu magnétique 09-12-21 à 08:08

J'ai, au cas où : \vec{B_2}=\frac 23 \mu _0 M \sin \theta \left(1-\frac {2}{3\mu_r}\right)\vec{e_{\theta}}

Posté par
vanoisere : Electromagnétisme, milieu magnétique 09-12-21 à 10:34

Citation :
alors : \vec{A_{m2}}=\vec{0} puisque dans le vide \vec{M}=\vec{0}.

Il s'agit bien d'obtenir le potentiel vecteur créé par la matière aimantée à l'extérieur de la boule ?
Si oui, ton raisonnement n'est pas correct ; il reviendrait à écrire que, pour un aimant, le champ magnétique existe à l'intérieur de l'aimant mais pas à l'extérieur. Il faut trouver une nouvelle expression du potentiel vecteur à l'extérieur de la boule puis utiliser le rotationnel comme dans le cas précédent.

Posté par
azer44170re : Electromagnétisme, milieu magnétique 09-12-21 à 19:04

Alors ce que j'ai fait:
La composante normale de B se conserve lors de la traversée d'une surface.
Pour les composantes tangentielles : \left( \vec{H_{m2}} -\vec{H_{m1}} \right)\times \vec e _r=\left( \frac {\vec{B_{m2}}}{\mu_0} -\frac {\vec{B_{m1}}}{\mu} \right)\times \vec e _r=\vec {J_l^S}=\vec 0
On en déduit : {B_{m2,\varphi}} =0 et {B_{m2,\theta}} ={B_{m1,\theta}} /\mu_r.
On avait déjà trouvé : \vec{B_{m1}} = \frac 23\mu_0M\vec e_z=\frac 23 \mu _0 M \left(\cos \theta \vec e_r- \sin \theta\vec e _{\theta}\right)
Donc je dirai : \vec{B_{m2}} = \frac 23\mu_0M\vec e_z=\frac 23 \mu _0 M \left(\cos \theta \vec e_r- \frac 1{\mu_r}\sin \theta\vec e _{\theta}\right)
Je pense que c'est encore faux puisque j'ai : \vec {H_{m1}}=\frac {\vec{B_{m1}}}{\mu}=\frac {2}{3\mu_r}\vec M
alors que la réponse est : \vec {H_{m1}}=\frac {\vec{B_{m1}}}{\mu_0}-\vec M=-\frac {1}{3}\vec M
On devrait avoir pareil puisque c'est un milieu L.H.I.
Je trouve cela un peu compliqué...

Posté par
azer44170re : Electromagnétisme, milieu magnétique 09-12-21 à 19:05

Oui c'est bien cela que l'on cherche pardon.

Posté par
vanoisere : Electromagnétisme, milieu magnétique 09-12-21 à 19:41

Rien n'est précisé sur la nature du matériau ; à mon avis, il faut éviter de faire intervenir µr.
Tu as déjà défini la densité surfacique de courant lié. Intérêt de cette notion : le vecteur  \vec{B_m} se calcule comme si on était dans le vide avec comme seule source de champ magnétique les courants liés. On peut donc utiliser pour  \vec{B_m} la même relation de discontinuité que dans le vide en tenant compte des courants liés surfaciques.
Il y a continuité de la composante normale qui ici est la composante sur r :

B_{2mr}=B_{1mr}=\frac{2\mu_{o}.M}{3}\cdot\cos\left(\theta\right)

Discontinuité de la composante tangentielle :

B_{2m\theta}-B_{1m\theta}=B_{2m\theta}-\left[-\frac{2\mu_{o}.M}{3}\cdot\sin\left(\theta\right)\right]=....

Je te laisse compléter en faisant intervenir la densité de courants surfaciques liés ...

Posté par
azer44170re : Electromagnétisme, milieu magnétique 09-12-21 à 20:32

Je dirais : {B_{2m\theta}}-{B_{1m\theta}}=\mu_0\times M\sin \theta\Rightarrow {B_{2m\theta}}=\frac 13\mu_0M\sin \theta
Et donc : \vec {B_{2m}}=\frac 23 \mu_0 M\cos \theta \vec e_r +\frac 13\mu_0 M\sin \theta\vec e_{\theta}
J'espère que c'est ça !
Je ne connaissais pas cette technique consistant à assimiler au vide. Je connaissais seulement la relation : \vec {H_{2}}-\vec {H_{1}}=\vec {J_{M, libres}^S}\times \vec n _{12}

Posté par
vanoisere : Electromagnétisme, milieu magnétique 09-12-21 à 20:54

D'accord avec ton expression de \vec{B_2m}.  
La technique des courants liés permet de réinvestir les connaissances acquises en magnétostatique du vide. Par exemple : un barreau cylindrique uniformément aimanté se traite comme un solénoïde...

Posté par
azer44170re : Electromagnétisme, milieu magnétique 09-12-21 à 21:01

Merci beaucoup du temps que vous m'avez accordé ! Je n'y serais jamais parvenu seul !


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