Niveau maths spé

électromagnétisme

Posté par
pseudoo 11-11-21 à 16:52

Bonjour,
On considère une distribution de charge à symétrie sphérique de centre O définie par $\rho=Ar$ avec A une constante, r=OM et $\rho$ la densité volumique de charge au point M.On se place donc en coordonnées sphériques.

1)Déterminer l'expression du champ électrique au point M.

On utilise le théorème de Gauss (je passe les calculs) et on obtient, en appelant R le rayon de la sphère prise comme surface de Gauss:
-Si r > R: $\overrightarrow{E}(M)=\frac{\rho R^3}{3\epsilon_0 r^2}\overrightarrow{e_r}$ .
-Si r < R: $\overrightarrow{E}(M)=\frac{\rho r}{3\epsilon_0}\overrightarrow{e_r}$ .

2)Calculer le flux sortant d'une couche sphérique de centre O de d'épaisseur dr limitée par 2 sphères de rayon respectifs dr et r+dr.

On sait que $\phi = \iint\overrightarrow{E}.\overrightarrow{dS}$ et on connaît l'expression du champ électrique d'après la question 1. Je ne sais pas en revanche comment calculer dS pour obtenir l'expression du flux.

3)Retrouver l'équation de Maxwell-Gauss.
Je connais l'équation de Maxwell-Gauss : $div(\overrightarrow{E})=\frac{\rho}{\epsilon_0}$ mais je ne sais pas comment la retrouver à partir de l'expression du flux...

Quelqu'un pourrait-il m'aider?Merci de votre aide

Posté par re : électromagnétisme 11-11-21 à 18:09

Bonjour
On s'intéresse au volume élémentaire d compris entre les sphères de rayons r et (r+dr).
Le flux sortant à travers la sphère de rayon (r+dr) est égal à :
Φ₂=E_r(r+dr).4(r+dr)²
Le flux sortant à travers la sphère de rayon r est un flux négatif car , lors d'un calcul de flux à travers les surfaces délimitant un volume donné, les vecteurs surfaces sont toujours orientées vers l'extérieur du volume délimité :
Φ₁=-E_r(r).4.r²
Je te laisse calculer le flux total :
Φ₂+Φ₁ : après élimination des termes du second ordre, tu devrais arriver à faire apparaître une différentielle :
dΦ=Φ₂+Φ₁
Ensuite, propriétés de la divergence :

$d\Phi=div\left(\overrightarrow{E}\right).d\tau$

Rappel peut-être utile sur la divergence : ici, paragraphes 9 et 10.