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électromagnétisme

Posté par
gnaaar 08-12-18 à 16:11

Bonjour, un professeur nous a donné a annale pour préparer un contrôle et j'aimerais savoir si ce que j'ai fais est bon . il porteras principalement sur le théorème de gauss.

ENONCE:

On considère une sphère de rayon R chargée avec une densité de charge volumique \rho =\rho (r)=ar avec a =cst >0


1)   calculer la charge totale de la sphere

on sait que \rho =\frac{dQ}{dV} et donc que dQ=\rho dV

j'intègre et je trouve  Q= aR4


2) par etude des invariances/symetrie trouver de quelles cordonnées depend le champ électrique ainsi que sa direction .

je dis que (Ur,U) et (Ur,U) sont des plans de symetrie et donc que la direction du champ est Ur.

pour les invariance le champ ne varie pas en fonction de et ) il depend donc de r.

3)En utilisant le théorème de Gauss trouver le champ électrique et le potentiel a l'exterieur de la sphere en fonction de Q.



je vous epargne les calculs.

je trouve que le champ pour r>R  est

E(m)= \frac{a*R^4}{4\epsilon r^2}  * Ur


et pour le potentiel, j'utilise le fais que V() =0 pour facilité l'integration

V(m)=\frac{-aR^4}{4\epsilon r}


4) En utilisant le théorème de Gauss, trouver le champ électrique a l'interieur de la sphere

pour r<R

E(m)=\frac{a*r^2}{4\epsilon } Ur


5)trouver le potentiel électrostatique a la surface de la sphere




j'utilise la formule du potentiel trouve pour l'exterieur de la sphere et je remplace r par R.

V(r=R)=\frac{-aR^3}{4\epsilon }



6) Calculer le potentiel électrostatique a l'interieur de la sphere

j'integre entre r et R,

V(r)= \frac{-a}{4\epsilon }*(\frac{R^3}{3}-\frac{r^3}{3}+R^3)



merci d'avance

Posté par
vanoisere : électromagnétisme 08-12-18 à 16:33

Bonjour
D'accord avec tout ce que tu as fait sauf les deux expressions du potentiel. Tu as commis une erreur de signe sur V pour r>R et elle se répercute ensuite...
Pour r>R, puisque la source est à symétrie sphérique, le vecteur champ et le potentiel sont les mêmes que ceux créés par une charge ponctuelle égale à la charge totale supposée concentrée au centre.

Posté par
gnaaarre : électromagnétisme 08-12-18 à 16:49

je suis désolé mais je n'ai pas tres bien compris

Posté par
vanoisere : électromagnétisme 08-12-18 à 18:05

Pour r>R :

V_{\left(r\right)}=\dfrac{Q}{4\pi.\varepsilon_{0}.r}=\dfrac{a.R^{4}}{4\varepsilon_{0}.r}

Pour r<R :

V_{\left(r\right)}=\dfrac{Q_{int}}{4\pi.\varepsilon_{0}.r}=\dfrac{\pi.a.r^{4}}{4\pi.\varepsilon_{0}.r}=\dfrac{a.r^{3}}{4\varepsilon_{0}}

On obtient bien une limite de V nulle quand r tend vers l'infini et une continuité du potentiel en r=R. Ces résultats peuvent aussi s'obtenir en écrivant :

\\ E_{\left(r\right)}=-\dfrac{dV_{\left(r\right)}}{dr}

Posté par
gnaaarre : électromagnétisme 08-12-18 à 19:27

d'accord merci beaucoup ^_^

Posté par
vanoisere : électromagnétisme 08-12-18 à 20:28

Tu m'as remercié un peu trop vite car je viens de réaliser que j'ai commis une étourderie. Désolé !
Pas de problème pour le cas r>R :

E=\frac{Q}{4\pi.\varepsilon_{0}.r^{2}}=\frac{a.R^{4}}{4\varepsilon_{0}.r^{2}}\quad;\quad V=\frac{Q}{4\pi.\varepsilon_{0}.r}=\frac{a.R^{4}}{4\varepsilon_{0}.r}

On vérifie bien :

E=-\frac{dV}{dr}\quad avec\quad\lim_{r\rightarrow\infty}V=0

Je reprends le cas r<R :

Comme tu l'as trouvé, le théorème de Gauss conduit à :

E=\frac{Q_{int}}{4\pi.\varepsilon_{0}.r^{2}}=\frac{a.r^{2}}{4\varepsilon_{0}}=-\frac{dV}{dr}

Par intégration :

V=-\frac{a.r^{3}}{12\varepsilon_{0}}+K

On obtient la constante d'intégration en considérant la continuité de V en r=R :

\frac{a.R^{3}}{4\varepsilon_{0}}=-\frac{a.R^{3}}{12\varepsilon_{0}}+K\quad donc\quad K=\frac{a.R^{3}}{3\varepsilon_{0}}

Finalement, pour r<R :

V=\frac{a}{3\varepsilon_{0}}\cdot\left(R^{3}-\frac{r^{3}}{4}\right)

Posté par
gnaaarre : électromagnétisme 09-12-18 à 19:21

D'accord, je l'ai refait et j'ai trouve la meme chose , merci ^^.

J'avais aussi une question sur un autre exercice du meme style.

On etudie une sphere de rayon R avec une densite volumique de charge constante

1) Calculer la charge totale Q
2) Trouver la direction du champ et les coordonnées dont il depend
3) Calculez le champ electrique a l'exterieur et a l'interieur de la sphere
4) calculez le potentiel a l'interieur et a l'exterieur de la sphere


1) je trouve Q=*(4/3)R3

2) le champ suis la direction Ur et depend de r

3) pour r>R

E(m)=\frac{\rho *R^3}{3\epsilon *r^2} * Ur

pour r<R

E(m)=\frac{\rho r}{3\epsilon } *Ur


4)  le potentiel pour r>R

V(m)=\frac{\rho R^3}{3\epsilon r}  (j'utilise le fait que le potentiel est nul a l'infini)

pour r<R

V(m)= \frac{\rho }{2\epsilon }*(R^2-\frac{1}{3}r^2)

c'est bon ?

Posté par
vanoisere : électromagnétisme 09-12-18 à 22:05

Je crois que tu as bien compris maintenant : tout est bon !

Posté par
gnaaarre : électromagnétisme 09-12-18 à 22:20

c'etait la partie sur laquelle je bloquais , merci beaucoup


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