Niveau maths sup

Electricité : tension et intensité efficace

Posté par
Skops 18-12-07 à 22:22

Bonjour,

Quelle relation (si elle existe ^^) lie l'intensité (la tension) à l'intensité efficace (tension efficace) ?

Merci

Skops

Posté par re : Electricité : tension et intensité efficace 18-12-07 à 22:37

$I^2_{eff}=\frac 1 T \int\limits_0^T I^2(t){\rm d}t$

C'est valable pour la valeur efficace de n'importe quelle grandeur.

A titre d'exemple, tu peux calculer la valeur efficace d'un signal sinusoïdal. Tu trouveras une relation simple qu'il est bon de connaître.

Posté par re : Electricité : tension et intensité efficace 18-12-07 à 22:48

Bonsoir

Tu parles de Ieff=Imax/V(2) ?

Dans un circuit équipé d'un générateur de tension sinusoidale, l'intensité qu'il y a dans le circuit est l'intensité efficace ou maximal ?

Skops

Posté par re : Electricité : tension et intensité efficace 18-12-07 à 22:51

Salut Skops et donaldos

Je considère un signal qui est de la forme $\fbox{\large \rm x(t)=X_m\cos(\omega.t+\varphi)$

La valeur efficace de ce signal est $\fbox{\large \rm X^2_{eff}=\fra{1}{T}\Bigint_{t}^{t+T} x^2(t')dt'$ soit ici :

$\large \rm X^2_{eff} = \fra{\omega}{2\pi}\Bigint_{t}^{t+T} X^2_m\cos^2(\omega.t'+\varphi)dt' = X^2_m.\fra{\omega}{2\pi}\Bigint_{t}^{t+T} \fra{1+\cos(2(\omega.t'+\varphi))}{2}dt' = X^2_m\fra{\omega}{2\pi}\Bigint_{t}^{t+T} \fra{1+\cos(2(\omega.t'+\varphi))}{2}dt'\\=X^2_m\fra{\omega}{2\pi}$\fra{T}{2}+\fra{1}{2}\[\fra{\sin(2(\omega.t'+\varphi))}{2}\]_t^{t+T$ = X^2_m\fra{\omega}{2\pi}\fra{T}{2} = \fra{1}{2}X^2_m$

D'où finalement :

$\large \rm \red \fbox{X_{eff}=\fra{X_m}{\sqrt{2}}$

Posté par re : Electricité : tension et intensité efficace 19-12-07 à 15:27

En régime sinusoïdal, l'intensité et la tension varient en fonction du temps évidemment...
Leur amplitude correspond à la valeur maximale:

$\left{ \\ \begin{array}{rcl} \\ v(t)&=&V_m\cos\left(\omega t + \phi_V\right) \\ i(t)&=&I_m\cos\left(\omega t + \phi_I\right) \\ \end{array} \\ \right.$

Ce sont les signaux "physiques" que tu mesures sur un circuit.

Par ailleurs,du fait de leur caractère périodique (et d'autres propriétés intéressantes),
pour des signaux sinusoïdaux, savoir ce qui se passe à chaque instant ne nous intéresse pas trop :
on laisse généralement de côté les variations temporelles et on s'intéresse au comportement global
sur une période.
On préfère ainsi raisonner en termes de phase, d'amplitude et... de valeurs moyennes.

Danc cet esprit, la valeur efficace découle ainsi du calcul d'une puissance moyenne dissipée dans un conducteur ohmique.
A partir de la puissance instantanée $p(t)=u(t)i(t)$ :

$\mathcal{P}_m=\int\limits_0^T p(t){\rm d}t=\left\{\begin{array}{cc} &R\int\limits_0^T i^2(t){\rm d}t\\& \\ \text{ou}&\\&\\ &\frac 1 R\int\limits_0^T v^2(t){\rm d}t \\ \end{array}\right.$ soit simplement     $\mathcal{P}_m=\left\{\begin{array}{cc} &RI_{eff}^2\times T\\ &\\ \text{ou}&\\& \\ &\frac {V_{eff}^2} R \times T \\ \end{array}\right.$

Autrement dit, on interprète généralement la valeur efficace comme une réponse à la question :
si l'on était en régime continu,pour quelle valeur de tension/courant obtiendrait-on une puissance consommée identique?
Hé bien pour $I= I_{eff}$ ou $V=V_{eff}$ .

On emploie fréquemment ces valeurs efficaces lorsque l'on introduit les signaux sous forme complexe
(représentation très pratique et que tu verras donc forcément bientôt si ce n'est déjà fait):

$\left{ \\ \begin{array}{rcl} \\ {\underline V}&=&V_{eff}\quad e^{j\left(\omega t + \phi_V\right)} \\ {\underline I}&=&I_{eff}\quad e^{j\left(\omega t + \phi_I\right)} \\ \end{array} \\ \right.$

Il se trouve que l'on calcule alors la puissance moyenne consommée par une charge donnée (résistive et réactive en général) simplement par:

$\mathcal{P}_m=\Re {\mathrm e} \left[{\underline V}{\underline I}^*\right]$

sous une forme rappelant vaguement celle de la puissance instantanée (on trouve des analogies où l'on peut....)

Au passage, cela s'écrit aussi:

$\mathcal{P}_m=V_{eff}I_{eff} \cos{\Phi}$

avec $\Phi=\phi_V-\phi_I$ le déphasage en tension et courant.

Donc pour résumer :

La tension maximale/amplitude $V_m$ c'est celle qui correspond au signal brut, au signal  physique, celui qui est appliqué à un circuit, celui qui fait courrir les électrons dans tous les sens etc.

La tension efficace $V_{eff}$ c'est une valeur finalement très proche de la précédente en sinusoïdal  (un facteur $\sqrt 2$ et c'est tout) , mais basée sur une interprétation bien différente (puissance et comportement moyen)et qu'accessoirement il n'est pas désagréable de faire apparaître dans certaines expressions et d'utiliser dans les calculs ("ça évite de traîner des 1/2 partout" diraient pragmatiquement certains...)