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Electricité (R,L,C)

Posté par
M_yst 07-04-10 à 03:33

Bonjour,
Je suis en train d'essayer de résoudre un problème en Physique mais à plusieurs endroits je bloque. J'espère que quelqu'un pourra m'aider!
Voici le sujet:

Les trois parties sont indépendantes

Partie I: Charge et décharge incomplète

Un circuit RC est alimentée par un GBF délivrant une tension rectangulaire, alternative. A l'instant t=0, le condensateur est initialement déchargé, interrupteur est fermé et u=+E.
Calculer Uc(t) et i(t), respectivement la tension aux bornes du condensateur et l'intensité du courant qui circule dans le circuit, sur deux périodes du signal.
On donne R=500 , C=2,2.10^-6F et E=10V

cf Fig.1 signal délivré par le GBF et Fig.2 le circuit RC série.


Partie II: Aspect énergétique.

Soit le circuit RC série (cf fig.3) alimenté par une tension continue E.

1)Quelle est l'énergie Ec emmagasinée par le condensateur lorsque sa charge peut être considérée comme terminée?
Donner sa valeur numérique si E=1V, R=10 et C=0,1.10^-6F

2)Montrer que l'énergie Eg fournie par le générateur au cours de la charge est Eg=CE². Effectuer l'application numérique.

3)Calculer l'énergie dissipée par effet Joule au cours de la charge. Retrouver ces résultats en utilisant les questions 1 et 2.

4) Définir et calculer le rendement énergétique r de la charge du condensateur à travers la résistance.


Partie III: transitoire dans les réseaux à deux mailles.

Considérons le réseau représenté Fig.4. L'interrupteur K est fermé à l'instant t=0. Déterminer les intensités du courant débité par le générateur, et du courant qui traverse la bobine.


Mes résultats:

Partie I:
Je n'arrive pas à commencer...

Partie II:
1) Pour cette question j'ai plusieurs méthode:

D'après la loi des mailles:
E-Ur-Uc=0
Uc=E-Ur=E-Ri
Or l'énergie Ec=1/2CUc²=1/2C(E-Ri)²
...
On arrive à q(t)=CE(1-e^(-t/RC)
Or i(t)=dq/dt=E/Re^(-t/RC)
Or la charge du condensateur peut être considérée comme terminée à t=5 avec =RC
donc i(5)=E/R.e^(-5)=6,7.10^(-4)A
Donc Ec=1/2C(E-Ri)=4,9.10^(-8)J

Ou autre méthode

i(t)=dq(t)/dt=dCUc/dt=CdUc/dt=Cd(E(1-e^(-t/RC))/dt=E/R.e^(-t/RC)
... On arrive au même résultat

Ou autre méthode
On avait q(t)=CE(1-e^(-t/RC)
Or Ec=1/2CUc²=q²/2C
q(5=CE(1-e^(-5/)=9,9.10^(-8)C
Donc Ec=q²/2C=4,9.10^(-8)J


2)On a Ri+q/c=E   xi.dt
Ri²dt+q/cdq=Eidt
avec Ef par générateur: Eidt
là je ne vois pas comment arrivé à ce qu'on nous demande...

3)E=Ri² avec i=6,7.10^(-4)A (cf 1)) Mais je ne sais pas si cela répond exactement à la question...

4) Je bloque


Partie III:
Je n'arrive pas à commencer...



Merci d'avance.

Electricité (R,L,C)

Posté par
kookyyre : Electricité (R,L,C) 07-04-10 à 11:51

En train d'essayer? Tu te fou de ma gueule ?!

Posté par
M_ystre : Electricité (R,L,C) 08-04-10 à 09:26

Je suis désolé d'être bloqué mais pour la partie I je n'arrive pas à comprendre la question car pour moi la période est la plus petite période au bout de laquelle le phénomène redevient identique à lui même, ici 25ms. Je n'arrive pas à trouver quelque chose de concret pour cette question, je ne comprends pas le "sur deux périodes du signal"... Ce que je demandais c'était juste une indication, une piste pour démarrer... Et pour la partie trois je ne l'ai pas commencé car je veux d'abord finir la première et la seconde. Pour la seconde partie je ne sais pas si ce que j'ai fait est juste car dans notre cours on a vu une méthode pour trouver l'énergie en multipliant par idt mais on ne retombe pas sur ce qui est demandé...
Encore désolé de vous avoir importuné.
Bonne soirée ou bonne journée

Posté par
J-Pre : Electricité (R,L,C) 08-04-10 à 11:34

Partie I

1)
A la charge :

u = Ri + Uc
et i = C.dUc/dt

du/dt = R di/dt + dUc/dt
Pendant la charge, u est constant et donc du/dt = 0
R di/dt + dUc/dt = 0
R di/dt + i/c = 0
di/dt + i/(Rc) = 0

i(t) = K1.e^(-t/(RC)) (avec K1 une constante réelle.)
i = C.dUc/dt
K1.e^(-t/(Rc)) = C.dUc/dt
dUc/dt = (K1/C).e^(-t/(RC))
Uc(t) = -(RC.K1/C).e^(-t/(RC)) + K2
Uc(t) = -(R.K1).e^(-t/(RC)) + K2 (avec K1 et K2 des constantes réelles.)

A la première charge, Uc(0) = 0
--> -(R.K1).e^(0) + K2 = 0
(R.K1) =  K2

Uc(t) = (R.K1).(1 - e^(-t/(RC)))
Si t --> +oo, alors Uc --> 10 volts et donc : R.K1 = 10
K1 = 10/R = 10/500 = 0,02

On a donc:
i(t) = 0,02.e^(-t/(500*2,2.10^-6))
uc(t) = 10.(1 - e^(-t/(500*2,2.10^-6)))

i(t) = 0,02.e^(-t/(1,1.10^-3))
uc(t) = 10.(1 - e^(-t/(1,1.10^-3)))

En fin de première charge, soit pout t = 1,25 ms, on a:
i(1,25.10^-3) = 0,02.e^(-1,25.10^-3/(1,1.10^-3)) = 0,0064 A = 6,4 mA
uc(1,25.10^-3) = 10.(1 - e^(-1,25.10^-3/(1,1.10^-3))) = 6,8 V
-----
A la décharge:
En reprenant l'origine des temps à l'instant où le signal du générateur passe de 10 à -10 V :

Ri + Uc = -10
et i = C.dUc/dt

RC.dUc/dt + Uc = -10
Uc(t) = K.e^(-t/(RC)) - 10
Et Uc(0) = 6,8 Volts --> K = 16,8
Uc(t) = 16,8.e^(-t/(1,1.10^-3)) - 10

i(t) = C.dUc/dt
i(t) = -(C * 16,8/(1,1.10^-3)) .e^(-t/(1,1.10^-3))
i(t) = -(2,2.10^-6 * 16,8/(1,1.10^-3)) .e^(-t/(1,1.10^-3))
i(t) = -0,0336 .e^(-t/(1,1.10^-3))

A la fin de la première décharge, on aura :
uc = 16,8.e^(-1,25.10^-3/(1,1.10^-3)) - 10 = -4,6 V
i = -0,0336 .e^(-1,25.10^-3/(1,1.10^-3)) = -0,0108 A = -10,8 mA

Voila donc une réprésentation de uc(t) et de i(t) sur la première période:

Electricité (R,L,C)

Il reste à faire la même chose pour uµla seconde période.

C'est pareil à ce qui a été fait, ci dessus mais en partant de la condition intiale uc = -4,6 V au lieu de uc = 0 V
-----
Calculs à vérifier ...

Posté par
M_ystre : Electricité (R,L,C) 10-04-10 à 04:52

En tout cas merci beaucoup pour cette réponse j'ai compris la partie I!
Par contre pour la partie II est ce que mon raisonnement est juste? Comment procède t on avec les énergies? Car avec la méthode du prof de multiplier par idt je n'arrive à pas grand chose dans ce cas là.
Pour la partie III je n'ai pas réussi à faire intervenir la deuxième maille. Au début je suis parti sur un système avec les deux lois des mailles. Mais je n'arrive pas à conclure. Quelle est la méthode ici à appliquer?

Posté par
J-Pre : Electricité (R,L,C) 10-04-10 à 10:45

Partie II

1)

La charge terminée, on a  Uc = E et sonc :
Ec = (1/2).C.E²
Ec = (1/2) * 0,1.10^-6 * 1² = 5.10^-8 J
-----
2)

i(t) = (E/R).e^(-t/(RC))

3$ Eg = \int_0^{+\infty} E.i\ dt

3$ Eg = \frac{E^2}{R}int_0^{+\infty} e^{\frac{-t}{RC}} dt

3$ Eg = -\frac{E^2.RC}{R}.[e^{\frac{-t}{RC}}]_0^{+\infty}

3$ Eg = -\frac{E^2.RC}{R}.[0 - 1]

3$ Eg = C.E^2
-----
3)

Ej = \int_0^{+\infty} R.i^2\ dt

Ej = R.\frac{E^2}{R^2}\int_0^{+\infty} e^(-2t/(RC))\ dt

Ej = -R.\frac{E^2.RC}{2R^2} [e^(-2t/(RC))]_0^{+\infty}

Ej = R.\frac{E^2.RC}{2R^2}  

Ej = \frac{C.E^2}{2}  
---
Par les questions (1) et (2) -->

Eg = Ej + Ec
C.E² = Ej + (1/2).C.E²
Ej = (1/2).C.E²
-----
4)

Rendement énergétique = Ec/Eg = ((1/2).C.E²)/(C.E²) = 1/2
-----
Sauf distraction.  

Posté par
J-Pre : Electricité (R,L,C) 10-04-10 à 10:48

Je corrige pour les ratés en Latex

Partie II

1)

La charge terminée, on a  Uc = E et sonc :
Ec = (1/2).C.E²
Ec = (1/2) * 0,1.10^-6 * 1² = 5.10^-8 J
-----
2)

i(t) = (E/R).e^(-t/(RC))

3$ Eg = \int_0^{+\infty} E.i\ dt

3$ Eg = \frac{E^2}{R} \int_0^{+\infty} e^{\frac{-t}{RC}} dt

3$ Eg = -\frac{E^2.RC}{R}.[e^{\frac{-t}{RC}}]_0^{+\infty}

3$ Eg = -\frac{E^2.RC}{R}.[0 - 1]

3$ Eg = C.E^2
-----
3)

Ej = \int_0^{+\infty} R.i^2\ dt

Ej = R.\frac{E^2}{R^2}\int_0^{+\infty} e^{(-2t/(RC))}\ dt

Ej = -R.\frac{E^2.RC}{2R^2} [e^{(-2t/(RC))}]_0^{+\infty}

Ej = R.\frac{E^2.RC}{2R^2}  

Ej = \frac{C.E^2}{2}  
---
Par les questions (1) et (2) -->

Eg = Ej + Ec
C.E² = Ej + (1/2).C.E²
Ej = (1/2).C.E²
-----
4)

Rendement énergétique = Ec/Eg = ((1/2).C.E²)/(C.E²) = 1/2
-----

Posté par
J-Pre : Electricité (R,L,C) 10-04-10 à 11:06

Partie III

Electricité (R,L,C)

Equation de 2 mailles.

4 - 60.i - 30.i1 - 4,7.10^-3.di1/dt = 0
4 - 60.i - 60(i-i1) = 0

4 - 60.i - 60(i-i1) = 0
1 - 15.i - 15(i-i1) = 0
1 - 30i = -15i1
i1 = (30i - 1)/15
di1/dt = 2.di/dt

4 - 60.i - 30.i1 - 4,7.10^-3.di1/dt = 0
4 - 60.i - 30.(30i - 1)/15 - 4,7.10^-3 * 2di/dt = 0
4 - 60.i - 60i +2 - 9,4.10^-3 * di/dt = 0
9,4.10^-3 * di/dt + 120 i = 6

Equation différentielle à résoudre pour trouver i(t) (condition initiale : i(0) = 4/120 = 1/30 A)

Une fois ceci fait, on pourra tirer i1 de i1 = (30i - 1)/15
-----
Sauf distraction, vérifie avant ce continuer.

Posté par
olive_68re : Electricité (R,L,C) 14-04-10 à 18:08

Bonjour

J'essaye de faire l'exercice proposé, et j'aurais une question .

Pour la 1. du II j'aurais dit que la tension aux bornes d'un condensateur tend à prendre la valeur de la tension qu'on lui applique.

Or on considère qu'une condensateur est chargé lorsque la tension aux bornes de celui-ci est supérieur à 99% (5 tau) de celle qu'on lui applique.

On retrouve le même résultat 3$\rm \fr{99}{100}\(\fr{1}{2}C\times E^2\)==4,9.10^{-8} J

Est-ce que c'est juste ? Mal formulé ?

Merci d'avance

Posté par
olive_68re : Electricité (R,L,C) 14-04-10 à 18:13

A mince j'ai regardé la réponse dans l'énoncé, ce n'est pas celle que donne J-P.

Si on répondait à la question comme M_yst et moi ça n'irait pas ?

Je comprends la réponse que tu donnes mais d'un autre côté dans mon cours de Ts j'avais écris que un condo est considéré comme chargé lorsqu'il est chargé à plus de 99%, il me semble que j'ai rien écris la dessus cette année.

Merci d'avance


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