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[Electricité] Impédance bourrine

Posté par
infophile 10-12-07 à 20:28

Bonsoir

Citation :
On considère le montage suivant :

[Electricité] Impédance bourrine :D

1) Déterminer l'impédance 3$ \rm Z_{AB} en fonction de 3$ \rm L, 3$ \rm C, 3$ \rm C_0 et 3$ \rm R.

2) Puis la mettre sous la forme 3$ \rm Z_{AB}=\frac{a+jb}{c+jd} dont les inconnues sont des fonctions de 3$ \rm \omega à valeurs réelles. On impose 3$ \rm a=1-LC\omega^2. Préciser les autres inconnues.

Puis la mettre sous la forme 3$ \rm Z_{AB}=R_{AB}+jX_{AB} et on admet que le dipôle A - B est à la résonance lorsque la valeur de 3$ \rm \omega est telle que 3$ \rm Im[Z_{AB}]=0.

3) Montrer que l'équation peut s'écrire 3$ \rm \(1-\frac{w^2}{w_p^2}\)\(1-\frac{w^2}{w_s^2}\)=-\frac{R^2C^2\omega^2}{1+\frac{C}{C_0}}


Je trouve 3$ \rm \red \fbox{Z_{AB}=\frac{(1-LC\omega^2)+j(RC\omega)}{(-w^2C_0RC)+j(-w^3C_0LC+C_0\omega+C\omega)} puis pour la partie imaginaire :

3$ \rm \blue \fbox{Im(Z_{AB})=-\frac{-2\omega^2C_0LC+C_0+C+L^2\omega^4C^2C_0-L\omega^2C^2+R^2C^2\omega^2C_0}{\omega(\omega^2C_0^2R^2C^2+\omega^4C_0^2L^2C^2-2\omega^2C_0^2LC-2\omega^2C_0LC^1+C_0^2+2C_0C+C^2)}

J'ai essayé d'annuler le dénominateur pour retrouver une forme comme celle à laquelle on doit aboutir, mais pas moyen de déterminer 3$ \rm w_p et 3$ \rm w_s, et j'en ai besoin dans toute la suite du problème.

Merci

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 10-12-07 à 20:58

Jiju33 (qui a besoin d'aide sur son topic ) m'a ouvert les yeux sur un truc, et finalement je trouve avec les notations de l'énoncé :

3$ \rm \fbox{Z_{AB}=\frac{2ab+\frac{bC}{C_0}}{-C_0\omega}+j\frac{b^2-a^2-\frac{C}{C_0}}{-C_0\omega}}

Y'a moyen de bidouiller maintenant

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 10-12-07 à 21:21

Je fais donc 3$ \rm b^2-a^2-\frac{C}{C_0}=0 et comme 3$ \rm \{a=1-LC\omega^2\\b=RC\omega on a :

3$ \rm R^2C^2\omega^2-(1-LC\omega^2)-\frac{C}{C_0}=0 soit encore 3$ \rm R^2C^2\omega^2+2LC\omega^2-L^2C^2\omega^4=1+\frac{C}{C_0}

Je divise par 3$ \rm R^2C^2\omega^2 : 3$ \rm 1+\frac{2L}{R^2C}-\frac{L^2\omega^2}{R^2}=\frac{1+\frac{C}{C_0}}{R^2C^2\omega^2}

Je fais une pause et je prends l'inverse

Je le sens mal

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 10-12-07 à 21:37

Bon après simplification je n'arrive toujours pas à ce que je veux, soit j'ai fait une erreur soit je n'ai plus les yeux en face des trous

Bonne nuit

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 11-12-07 à 17:00

Up

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 11-12-07 à 17:42

Après avoir refait les calculs je trouve Im(Z) = 0 <=> a² + b² + aC/C0 = 0

Mais je n'ai pas réussi à le mettre sous la forme voulue

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 11-12-07 à 18:12

C'est embêtant je ne peux pas poursuivre l'exercice sans ces valeurs wp et ws

Quelqu'un peut-il faire le calcul et me dire ce qu'il trouve ?

Merci !

Posté par
donaldosre : [Electricité] Impédance bourrine 11-12-07 à 18:46

Sans relire tous tes calculs...

\Im\mathrm{m}\left(Z_{AB}\right)=0 \Leftrightarrow bc+ad=0

On doit en déduire (à peu près) l'équation équivalente:

\frac{R^2C^2\omega^2}{1+\frac{C}{C_0}}=\left(1-LC\omega^2\right)\left(1-\frac{LC\omega^2}{1+\frac{C}{C_0}}\right)

Au passage, tu noteras que cette expression diffère de celle de l'énoncé au niveau du signe, à vérifier donc...

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 11-12-07 à 18:47

En partant de a² + b² + aC/C0 = 0 et en remplaçant a et b par leur expression je trouve que :

(1-LCw²)²/(1+C/C0) + [(1-LCw²)C/C0]/(1+C/C0) = -R²C²w²/(1+C/C0)

Donc par identification on a :

(1-LCw²)²/(1+C/C0) + [(1-LCw²)C/C0]/(1+C/C0) = (1 - w²/wp²)(1 - w²/ws²)


Mais là je n'arrive pas déterminer wp et ws pour que ça fonctionne

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 11-12-07 à 18:48

Bonjour donaldos

Toujours là quand il faut

Comment obtiens-tu l'équivalence Im(Z) = 0 <=> bc + ad = 0 ?

Merci !

Posté par
donaldosre : [Electricité] Impédance bourrine 11-12-07 à 18:51

tu n'as qu'à calculer la partie imaginaire de \frac{a+jb}{c+jd}

Si tu ne fais pas la même erreur que moi, tu devrais trouver qu'elle vaut bc-ad... (ce qui résoud le problème du signe)

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 11-12-07 à 18:53

Et tu as pris les mêmes expression que moi pour a,b,c et d ?

Car à 20:58 j'ai proposé une expression de la partie imaginaire et je n'obtiens pas ça

Posté par
donaldosre : [Electricité] Impédance bourrine 11-12-07 à 18:56

oui, les mêmes

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 11-12-07 à 19:01

Ah oui c'est bon je trouve bc - ad = 0

Je me suis trop compliqué la vie ! Merci beaucoup, je poursuis !

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 11-12-07 à 19:42

Ok donc je trouve 3$ \rm \{w_p=\frac{\sqrt{1+\frac{C}{C_0}}}{\sqrt{LC}}\\w_s=\frac{1}{\sqrt{LC}}

Merci bien

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 12-12-07 à 15:36

Bonjour

J'ai poursuivi l'exercice, j'aimerai savoir si ce que j'ai fait est juste.

Citation :
Je devais mettre l'expression sous la forme 3$ \rm \(1-\frac{w^2}{w_p^2}\)\(1-\frac{w^2}{w_s^2}\)=-\frac{1}{Q^2}\frac{w^2}{w_p^2}


Je trouve 3$ \rm \red \fbox{Q=\frac{1}{R}.\sqrt{\frac{L}{C}}}

Citation :
Puis montrer qu'à la raisonnance on a 3$ \rm Z_{AB}=\Re[Z_{AB}]=\frac{a}{c}=\frac{b}{d}


Pas de soucis j'y suis arrivé.

Citation :
L'énoncé dit ensuite que lorsque 3$ \rm Q est grand  les pulsations de raisonnances sont 3$ \rm \{w_1=w_s\\w_2=w_p. On cherche alors une solution voisine de 3$ \rm w_s sous le forme 3$ \rm w_1=w_s(1+\epsilon) et il faut expliciter 3$ \rm \epsilon qui tend vers 0 en fonction de 3$ \rm C,C_0,Q .


Je ne suis pas du tout sûr de ce que j'ai fait, j'ai dit que pour Q très grand on avait 3$ \rm -\frac{1}{Q^2}\frac{w_1^2}{w_p^2}\approx 0 et donc j'ai écrit l'équation 3$ \rm 1-\frac{w_1^2}{w_p^2}=-\frac{1}{Q^2}\frac{w_1^2}{w_p^2}

Et j'en ai tiré 3$ \rm \blue \fbox{w_1=w_s\[1-\frac{1}{\sqrt{Q\(1+\frac{C}{C_0}\)}.\(\sqrt{1+\frac{C}{C_0}}+\sqrt{1+\frac{C}{C_0}+\frac{1}{Q^2}}\)}\]}

Merci beaucoup

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 12-12-07 à 15:37

Oups j'ai oublié un +1 sous la première racine du dénominateur

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 12-12-07 à 16:18

Non oubliez mon w1 c'est bien trop compliqué, je vais remplacer ws(1+e) dans l'expression et développer en négligeant les termes depuis 2,3,4 en e comme le suggère l'énoncé.

Posté par
gui_toure : [Electricité] Impédance bourrine 12-12-07 à 19:30

Up

T'exagères un peu, un DM ça se fait tout seul

Posté par
infophilere : [Electricité] Impédance bourrine 12-12-07 à 19:54

Je l'ai fini

Posté par
gui_toure : [Electricité] Impédance bourrine 12-12-07 à 20:00

Bien joué


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