Equation de la maille (en supposant le RLC série ... ce qui n'a rien d'obligatoire) :

E = Ri + L.di/dt + Uc (avec E la tension de l'échelon)
avec i = C.dUc/dt

E = RC.dUc/dt + LC.d²Uc/dt² + Uc
LC.d²Uc/dt² + RC.dUc/dt + Uc = E

Et avec Uc = q/C

L.d²q/dt² + R.dq/dt + q/C = E

d²q/dt² + (R/L).dq/dt + q/(LC) = E/L
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a) Solution de : d²q/dt² + (R/L).dq/dt + q/(LC) = 0

p² + (R/L)p + 1/(LC) = 0

p = [-(R/L) +/- (R²/L² - 4/(LC))^(1/2)]/2

Et A LA CONDITION QUE R²/L² - 4/(LC) < 0, on a :

p = -(R/(2L) +/- i.racinecarrée(1/(LC) - (R/2L)²)

q = e^(-R.t/(2L)) * [A.cos(t.(racinecarrée(1/(LC) - (R/2L)²))) + B.sin(t.(racinecarrée(1/(LC) - (R/2L)²)))]
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b) solution particulière de d²q/dt² + (R/L).dq/dt + q/(LC) = E/L

q = C.E
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Solutions générales de d²q/dt² + (R/L).dq/dt + q/(LC) = E

q(t) = e^(-R.t/(2L)) * [A.cos(t.(racinecarrée(1/(LC) - (R/2L)²))) + B.sin(t.(racinecarrée(1/(LC) - (R/2L)²)))] + C*E

q(t) = e^(-gamma.t) * [A.cos(t.(racinecarrée(wo² - gamma²))) + B.sin(t.(racinecarrée(wo² - gamma²)))] + C*E

On a donc :
w = racinecarrée(wo² - gamma²)
D = C*E

Et on détermine les valeurs de A et B par les conditions initiales, qui sont :

q(0) = 0 (en supposant le condensateur déchargé au moment de l'application de l'échelon de tension au RLC)
et
(dq/dt)(0) = 0 (à cause de la présence de L en série qui empêche toute discontinuité dans le courant).

...

Voila, il n'y a plus qu'à ...

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Sauf distraction.  

mercii
est ce que vous pouvez me détailler la solution particulière , je sais que ca a la forme d'une constante mais j'ai oublié la suite je vous remercie

bonjour
c'est bon j'ai trouvé merci
j'ai une autre question  
on me demande de determminer l'energie Ec et l'energie El en fonction de C et de E  
je sais que Ec = 1/2CU² et El =1/2LI²
je peux remplacer u par quoi pour avoir en fonction C et E
MERCI BONNE JOURNée

Ec = (1/2).CU²
mais aussi q = CU ---> U = q/C
et donc :
Ec = (1/2).C.q²/C²
Ec = (1/2).q²/C

... et tu as trouvé l'expression de q(t)
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El = (1/2).L.i²

Mais on a : dq/dt = i

Comme tu connais l'expression de q(t), tu peux trouver l'expression de dq/dt ... et donc celle de i(t)

...
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Sauf distraction.  

Ouii , mais l'expression de q(t) et en fonction de gamma et w aussii et pour les energie il demandent en fonction que de C et E

Je viens de voir dans le cours que l'energie est en fonction de Cet E mais ils c'est ecrit 1/2 C (U(+inf) -U(0+) ) et on obtient E= -CE/2 je sais pas si j'ai le droit de le mettre ici ou pas
Merci

Tu utilises E avec deux différentes signification ... et alors c'est raté.

E est la tension de l'échelon. (à ne pas confondre avec l'énergie).
Si on note Ec l'énergie dans le condensateur, on a Ec = (1/2).CU² avec U la tension au born,e du condensateur.
Et je t'ai indiqué qu'on avait aussi la relation U = q/C et que donc on pouvait écrire :
Ec = (1/2).q²/C

Et connaissant q(t)... on pouvait donc trouver l'expression de Ec(t).
Et bien entendu que l'expression de q(t) dépend de wo et de gamma.

Par contre si on veut la valeur de Ec pour t --> +oo, alors on a : lim(t --> +oo) Ec = (1/(2C)).lim(q--> +oo) (q(t))² et là on ariivera à lim(t --> +oo) Ec =(1/(2C)).(CE)² = (1/2).CE²

Ouii , mais on nous demande en fonction de C et E et non po avec gamma et w

J'ai expliqué, à toi de faire l'effort de comprendre.