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Efficacité cycle Diesel

Posté par
jlouis89 07-03-17 à 22:03

Bonsoir,

J'aurais besoin d'aide pour terminer mon exo de thermodynamique merci!

J'ai un cycle Diesel (ci Graphe) et je dois déterminer l'efficacité du cycle en utilisant p_{1}, p_{2}, T_{1} et T_{3} (avec a=\frac{p_{2}}{p_{1}} et b=\frac{T_{3}}{T_{1}}) et le rapport \gamma.
Pour l'An on donne b=5, a=8 et \gamma =1,4

Je pense avoir réussir à me débrouiller sur la 1ère partie par contre je n'arrive pas à exprimer le tout en fonction de p_{1}, p_{2}, T_{1} et T_{3}.

J'ai:
\eta =\frac{-W}{Q}
or:
W+Q=0
W=-(Q_{23}+Q_{41})
Q=Q_{23}
d'où:
\eta =\frac{Q_{23}+Q_{41}}{Q_{23}}=1+\frac{Q_{41}}{Q_{23}}

T_{2}\rightarrow T_{3} est isobare d'où:
Q_{23}=mC_{p}\left(T_{3}\rightarrow T_{2} \right)
et
T_{4}\rightarrow T_{1} est isochore d'où:
Q_{41}=mC_{v}\left(T_{1}\rightarrow T_{4} \right)
alors:
\eta=1+\frac{C_{v}\left(T_{1}\rightarrow T_{4} \right)}{C_{p}\left(T_{3}\rightarrow T_{2} \right)}=1-\frac{1}{\gamma}\frac{T_{4}-T_{1}}{T_{3}-T_{2}}

et bon là j'arrive à une expression de l'efficacité mais avec juste les températures, je ne sais pas si je dois poser les choses de cette façon, ou faire différemment dès le début...
Je pensais pour la suite par ex poser:
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{p_{2}}{p_{1}} \right)^{\frac{1-1}{\gamma}}=x^{\frac{1-1}{\gamma }
et
\frac{T_{3}}{T_{4}}=\left(\frac{T_{3}}{T_{1}} \right)^{\gamma -1}}=y^{\gamma -1}

Mais je ne suis pas sûr du tout et ensuite je m'embrouille...

Pourriez-vous m'aider svp?
Merci

Efficacité cycle Diesel

Posté par
vanoisere : Efficacité cycle Diesel 08-03-17 à 10:04

Bonjour
Tu as je crois compris l'essentiel...
Une maladresse de notation dans le raisonnement général sur le rendement : la lettre Q désigne au fil du raisonnement deux grandeurs différentes : une fois Q=Q23+Q41 , une autre fois : Q = Q23.
Je suis d'accord avec ton expression de l'efficacité (ou rendement puisqu'il s'agit d'un moteur) en fonction des températures :

\eta=1-\frac{T_{4}-T_{1}}{T_{3}-T_{2}}
Pour la suite, il faut effectivement utiliser les relations de Laplace mais je me pose une question sur le sens des paramètres a et b : habituellement ces paramètres se définissent comme des rapports de volumes (faciles à mesurer). Es-tu bien sûr de ton énoncé et de la copie que tu en as faite ? Une étourderie avec l'éditeur d'équation est si vite arrivée !

Posté par
vanoisere : Efficacité cycle Diesel 08-03-17 à 12:55

Lire bien sûr :

\eta=1-\frac{T_{4}-T_{1}}{\gamma\left(T_{3}-T_{2}\right)}

Posté par
jlouis89re : Efficacité cycle Diesel 08-03-17 à 15:18

Bonjour et merci pour le retour,

effectivement je confirme c'est bien: x=\frac{p_{2}}{p_{1}} et y=\frac{T_{3}}{T_{1}} (x et y en fait plutôt que a et b dsl), mais les paramètres attendus sont donc bien: p_{1}, p_{2}, T_{1}, T_{3}.

Il s'agit en fait de l'exercice que l'on peut retrouver ici:

(dernier problème le 14)

Posté par
vanoisere : Efficacité cycle Diesel 08-03-17 à 17:14

Ce problème est habituellement posé comme le n° III comme déjà expliqué. Ici, les choses sont plus "calculatoires"...
La loi de Laplace permet de faire disparaître T2 de l'expression du rendement :

T_{2}=T_{1}.x^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}
Les choses sont plus compliquées pour T4 : il faut combiner la loi de Laplace et le fait que la transformation  41 est isochore :

T_{4}=T_{3}\left(\frac{P_{4}}{P_{2}}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}\quad avec\quad\frac{P_{4}}{T_{4}}=\frac{P_{1}}{T_{1}}
\\ T_{4}=T_{3}\left(\frac{T_{4}.P_{1}}{T_{1}.P_{2}}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}
Sauf erreur de calcul de ma part, la simplification conduit à :

T_{4}=\frac{T_{3}^{\gamma}}{\left(x.T_{1}\right)^{\gamma-1}}
Tu devrais pouvoir terminer mais tout cela est bien compliqué pour un intérêt physique très limité...

Posté par
jlouis89re : Efficacité cycle Diesel 10-03-17 à 15:28

Bonjour Vanoise!

Et bien écoute merci beaucoup pour ta réponse, mais en toute honnêteté, je me retrouve avec cette expression du rendement:

\eta =1-\frac{1}{\gamma }\frac{\frac{T_{3}^{\gamma }}{\left(x.T_{1} \right)^{\gamma -1}}-T_{1}}{T_{3}-T_{1}.x^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}}

Expression que j'ai bien du mal à simplifier... Je suppose qu'une fois simplifiée je devrais également pouvoir obtenir le paramètre y=\frac{T_{1}}{T_{3}} dans l'expression finale.

L'application numérique sera alors simple. Serait-il possible d'avoir une dernière petite aide sur la simplification de cette expression svp?
Merci!

Posté par
vanoisere : Efficacité cycle Diesel 10-03-17 à 20:49

Bonsoir
je repars de ton expression du rendement en remplaçant T2 et T4 par les expressions fournies dans mon précédent message. Cela donne :

\eta=1-\frac{\frac{T_{3}^{\gamma}}{x^{\left(\gamma-1\right)}.T_{1}^{\left(\gamma-1\right)}}-T_{1}}{\gamma\left[T_{3}-T_{1}.x^{\left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)}\right]}

Après division de tous les termes par T1 :

\eta=1-\frac{\frac{T_{3}^{\gamma}}{x^{\left(\gamma-1\right)}.T_{1}^{\gamma}}-1}{\gamma\left[\frac{T_{3}}{T_{1}}-x^{\left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)}\right]}

\boxed{\eta=1-\frac{\frac{y^{\gamma}}{x^{\left(\gamma-1\right)}}-1}{\gamma.\left[y-x^{\left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)}\right]}}

Posté par
jlouis89re : Efficacité cycle Diesel 11-03-17 à 00:59

Merci bcq vanoise ça me semble effectivement représenter bcq de complications pour pas grand-chose... toujours est-il que l'application numérique me donne au final un rendement d'environ 30%, ce qui me semble un peu faible, j'aurais pensé plus obtenir quelque chose aux alentours de 60% pour un moteur diesel, mais bon, 30% reste "normal" lorsqu'il s'agit du rendement d'un moteur en général si je ne me trompe pas.

Posté par
vanoisere : Efficacité cycle Diesel 11-03-17 à 11:44

Effectivement, l'application numérique conduit à une valeur proche du rendement réel mais plutôt inférieure alors que l'on devrait obtenir une valeur supérieure dans la mesure où le cycle a été considéré comme réversible. Mais un taux de compression de 8 me semble bien faible pour un moteur diesel : avec un taux de compression de 14, la formule conduit à un rendement de 42,5%


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