Niveau maths spé

Effet Hall et magnétorésistance

Posté par
EvDavid 11-03-18 à 10:37

Bonjour,

En travaillant le magnétisme je suis resté perplexe face à plusieurs questions. Non pas que je ne sache les résolver de manière théorique, mais au niveau physique je trouve des difficultès d'interprétations. J'espère que vous pourrez m'aider dans ce côté physique. D'après l'idée générale que j'ai eu c'est que l'exercice essaie de comparer l'effet Hall suivant deux géométries diffèrentes, tout en mettant en évidence les propriétés d'anisotropie et de magnétorésistance.

Voici l'énoncé :
Un matériau conducteur comporte n porteurs de charges par unité de volume, de charge q ( q<0 pour les électrons et q>0 pour les "trous" ) et responsables de la conduction électrique sous l'action d'un champ électrique permanent $\vec{E}$ . L'action du matériau sur les porteurs de charges est modélisé par une force de type $-m\frac{\vec{v}}\tau {}$ où $\vec{v}$ est leur vitesse de dérive, $m$ leur masse et $\tau$ un temps caractéristique dit " de collision " entre les porteurs ( non réellement libres ) et le réseau.
Le matériau est de plus soumis à un champ magnétique extérieur $\vec{B}$ uniforme et permanent (le champ créé par les porteurs en mouvement est négligeable) ; on rappelle l'expression algébrique de la pulsation cyclotron $w_{c}=\frac{qB}{m}$ . L'étude est faite en supposant le régime permanent atteint.

On arrive à montrer grâce au PFD que : $\vec{E}=\frac{\vec{j}}{\sigma }+R_{h}\vec{B}\wedge \vec{j}$ (*) où $\vec{j}$ est le vecteur densité de courant, $\sigma =\frac{nq^{2}\tau }{m}$ est la conductivité, $R_{H}=\frac{1}{nq}$ est la constante de Hall. Comme on montre que si $\vec{B}$ et $\vec{j}$ sont orthogonaux, alors les lignes de courant font un angle $\theta _{H}$ avec les lignes du champ $\vec{E}$ tel que : $tan(\theta _{h})=-\sigma R_{h}B$ . Pour B=1T, et pour le cuivre on trouve que $\theta _{h}=0.24°$ ce qui est négligeable; les lignes de courant et de champ électrique ne sont que faiblement modifiées par l'introduction d'un champ magnétique, même intense. Pour un semi-conducteur comme l'arséniure d'indium ( InAs ) : $\theta _{h}=-35°$
ce qui est très important ; les lignes de courant et/ou (en fonction de la géométrie) de champ électrique subissent d'importantes déformations.
On choisit par suite l'axe Oz pour être celui du champ magnétique, on trouve la généralisation de la loi d'Ohm : $\vec{j}=[\sigma ]\vec{E}$ où $[\sigma ]=\frac{\sigma }{1+(w_{c}\tau )^{2}}\begin{pmatrix} 1 & -w_{c}\tau & 0 \\ w_{c}\tau & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (**)
La relation reste linéaire mais on perd le caractère isotrope. En absence de champ magnétique on trouve la loi d'Ohm.

Les soucis que jusqu'à présent ont comme source:
Premièrement l'application du PFD, on passe par une étape où une dérivée droite devient une dérivée ronde. On a en fait : $dx=\frac{\partial x}{\partial t}+\vec{v}.\vec{grad}x$ . Ceci est beaucoup utilisé en induction ( dans le magnétisme en général ) et on utilise le fait qu'un circuit est fixe et donc sa vitesse est nulle. Mais le cas de l'exercice est diffèrent, il est seulement dit dans le corrigé que " le terme $(\vec{v}.\vec{grad})\vec{v}$ est négligeable devant chacun des termes de forces dans le PFD ( l'autre membre de l'équation du coup ), pour une plaquette ( celle avec lequel on exhibe l'effet Hall ) ce terme est nul mais pour le disque de Corbino ce n'est pas le cas". J'aimerai savoir si ce sont des ordres de grandeurs bien connus en physique qui ont amené à considérer cette approximation, et surtout pourquoi ce terme est nul pour la plaquette mais pas pour le disque. Est-ce des calculs qui dépassent le cadre du programme ?
Deuxièmement, comment retrouver l'effet Hall dans un ruban conducteur de grandeur longueur suivant Ox, de largeur a et d'épaisseur b, à partir de la relation (*).

J'espère que vous pourrez m'aider afin que je puisse continuer la résolution de cet exercice et qu'atteigne son réel objectif celui de la comparaison de l'effet de Hall suivant deux géométries diffèrentes.

Merci d'avance.

Posté par re : Effet Hall et magnétorésistance 11-03-18 à 12:36

Bonjour

Citation :
Ceci est beaucoup utilisé en induction

De manière générale c'est utilisé lorsqu'on étudie des milieux continues , par exemple en mécanique des fluide l'équation de Navier-Stokes s'écrit aussi avec cette fameuse dérivée qu'on peut appeler "dérivée particulaire" (formalisme Lagrangian). Le terme en gradient de la vitesse est appelé terme d'advection. Il prend en compte le transport d'une certaine quantité (ici la vitesse du porteur de charge) étant donné qu'il existe un mouvement du milieu considéré,le porteur de charge "bouge" bien mais le milieu environnant pas forcément ce qui est bien quantifier par un $\vec{v}.\vec{grad}$ . Le gradient vient "encoder" le mouvement du milieu si on veut expliquer "intuitivement".

Posté par re : Effet Hall et magnétorésistance 11-03-18 à 14:43

Bonjour,

Je vous remercie pour votre réponse. Je pense que je n'ai pas saisi la notion complètement. Si on prends notre cas, le milieu considéré serait le réseau d'ions et d'électrons ? Il y'a un mouvement de ce milieu, les électrons bougent, se heurent, heurtent les charges fixes... et le milieu environnant serait le matériau ? Qui lui n'a pas de mouvement. Et $(\vec{v}.\vec{grad})x$ comporterait le terme de gradient qui lui caractérise le transport de la quantité x comme vous avez dit, ici ce serait la vitesse d'un porteur de charges, et $\vec{v}$ serait le mouvement du milieu. Mais dans ce cas, que ce soit une plaquette conductrice, ou un disque conducteur, le terme d'advection serait nul non ? Et pourquoi le négliger devant le terme des forces ? Je doute que les électrons aient une faible vitesse dans le milieu non ?

Merci d'avance

Posté par re : Effet Hall et magnétorésistance 11-03-18 à 16:27

Sauf bêtise de ma part,

Citation :
les lignes de courant et de champ électrique ne sont que faiblement modifiées par l'introduction d'un champ magnétique

Dans ce cas précis, le terme $\vec{v}.\vec{grad} \vec{v}$ étant sensible à l'uniformité du champs des vitesses des porteurs de charges est en effet presque nulle. Ici il n'y a pas d'effets "géométriques" alors que pour un disque le champs des vitesses est rotatif donc très loin d'être uniforme. C'est dans ce sens là qu'on peut négliger ce terme.

Citation :
Je doute que les électrons aient une faible vitesse dans le milieu non ?

En effet leur vitesse n'est certainement pas faible mais le terme $\vec{v}.\vec{grad}$ peut l'être sans que la vitesse soit faible.

Et attention $\vec{v}$ est bien la vitesse du porteur de charge, lorsqu'on fait la démonstration de ce terme d'advection on se rend compte que l'expression de la vitesse d'une particule de fluide (ici porteur de charge car à l'évidence il s'agit d'un modèle semi-classique) intervient bien.

Posté par re : Effet Hall et magnétorésistance 11-03-18 à 16:36

Peut être pour être plus précis le terme de dérivée convective donne ici quelque chose comme $v_{x} \frac{\partial v_{x}}{\partial x}$ .
$v_{x}$ a beau être important, il en est pas forcément de même pour $\frac{\partial v_{x}}{\partial x}$ autrement dit la variation entre le champs des vitesses d'une ligne de champs à une autre à proximité n'est pas importante devant les différents termes de forces.

Posté par re : Effet Hall et magnétorésistance 11-03-18 à 18:01

Bonjour

L'opérateur $\vec{v}.\vec{grad}$ paraît bien obscur quand on débute en méca flu ! Il est souvent préférable de le développer de la façon suivante :

$\left(\vec{v}.\vec{grad}\right)\overrightarrow{v}=\frac{1}{2}\overrightarrow{grad}\left(v^{2}\right)+\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{v}\right)\wedge\overrightarrow{v}$

Le terme en gradient caractérise la variation en fonction des coordonnées d'espace de l'énergie cinétique massique $\left(\frac{1}{2}v^{2}\right)$ , le second terme intervient essentiellement dans les mouvements tourbillonnaires.

Posté par re : Effet Hall et magnétorésistance 12-03-18 à 18:45

Bonsoir,

Je vous remercie pour vos explications Kildeur et vanoise. J'ai quelques questions si cela est possible.
Comment a t on su que ce terme d'advection est négligeable dans notre cas? Car rien n'a été précisé. J'aimerai bien, si un jour je me retrouve dans un cas diffèrent, savoir si je devrai le prendre en compte ou pas.
Et aussi, par exemple en induction de Newmann, pour établir l'expression du champ électromoteur on utilise ce terme s'advection seulement on écrit plutôt : $\frac{d\vec{A}}{dt}=\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}+(\vec{v}.\vec{grad})\vec{A}$ où [tex]\vec{v}[tex] est la vitesse du circuit qui est nulle car il est fixe. J'aimerai savoir comment on choisit cette vitesse. Pourquoi dans notre cas on a pas pris
[tex]\vec{v}[tex] la vitesse du matériau conducteur par exemple.

Merci d'avance

Posté par re : Effet Hall et magnétorésistance 12-03-18 à 21:08

Citation :
la vitesse du circuit qui est nulle car il est fixe.

Je pense que ce n'est pas aussi simple que ça, ici $\vec{v}$ représente bien la vitesse d'une particule de fluide. Le terme de dérivée convective représente bien le fait que la particule de fluide a bougé d'une position $\vec{r}_{1}$ à une position $\vec{r}_{2}$ et en effet cela est directement lié à la géométrie du milieu considéré. Déjà si les lignes de champs des vitesses sont parallèles le terme rotationnel indiqué par Vanoise dans son poste précédent est nul. Il nous reste ensuite un terme en gradient qui subsiste d'une ligne de champs à une autre, cependant, si je ne dis pas de bêtise il me semble qu'il n'y a pas de raison que la vitesse varie beaucoup entre ces lignes de champs parallèles, excepté si on se trouve au bord du conducteur (effet de bords). Il faudrait donc supposer la largeur du conducteur infinie afin de régler cette question. Ou bien si on se place vers le milieu ça devrait marcher.

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