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DYNAMIQUE,saut à L'élastique.
Bonjour à tous,
Cela fait 3,4 jours que je bloque sur un problème,sans doute relativement facile pour certain.
J'ai quelque éléments de réponse mais je ne suis pas sur.Aidez moi,et merci d'avance.
Énoncé: Un sauteur à l'élastique de masse m=100 kg se trouve au bord d'un pont de hauteur 80 m.L'élastique auquel le sauteur est relié possède une longueur à vide Lo=50m et lorsqu'il est tendu, se comporte comme un ressort de constante de raideur k=200 N/m.Les forces de frottements de l'air seront négligées dans tout l'exercice et on utilisera un repère (O,uz) dont l'origine est au niveau du pont et l'axe vertical est dirigé vers le bas.
1°phase:Au temps t=0, le sauteur se jette dans le vide avec une vitesse initiale nulle.L'élastique n'est pas tendu, le sauteur n'est soumis qu'a son poids.
1.Déterminer la position z(t) du sauteur en fonction du temps pendant la chute libre.
2.A quel temps to l'élastique commence t-il à se tendre?calculer to?(c'est la question qui me pose le plus de problème)
3.Exprimer la vitesse vo du sauteur à ce moment là,en fonction de g et Lo.Calculer vo en km/h.
4.Retrouver le resultat précédent à l'aide du théorème de l'énergie cinétique.
Mes élements de Réponses:
1.P=mg et d'apres le PFD, ma=mg donc g=a, en integrant v=gt et encore en integrant z(t)=1/2gt²
2.d'après 1°), on prend z(t) et on trouve facilement to²=2z/g donc to=
2z/g
Application numerique: to=3.16 s avec les données de l'enonce, plus précisément to=1010
3.v(to)=gto donc en remplaçant to par son expression, on a:v(to)=g2Lo/g=31.6m/s soit 114km/h
4.Je ne sais pas trop, mais je pense faire comme cela, sachant que Wp est le travail du poids, on a d'apres le theoreme de l'energie cinétique, Wp=1/2mvfinale²-1/2mvinitiale² or vinitiale=0 et vfinale=vo
J'ai mon rattrapge de physique à passer et j'aimerais le passer dans de bonnes conditions, alors merci encore une fois de m'aider.
Merci pour ta réponse efpe .Cela vous semble correct? Je voudrais bien savoir comment fait-on pour la 4ème question?le résultat si possible?on devrait trouver le même résultat or ce n'est pas ce que j'obtiens, veuillez s'il vous plait m'expliqué étape par étape cette dernière question! Merci encore!
énergie mécanique à l'instant initial : Em = Ep = m.g.Lo
énergie mécanique à l'instant final : Em = Ec = 1/2mv²
l'énergie mécanique se conserve donc 1/2mv² = m.g.Lo
d'où v = 2Lo.g
suite énoncé: 2eme phase:L'élastique est tendu.Pour simplifier les expressions mathématiques,on translatera l'origine des temps au temps to,de sorte que le sauteur occupe la position L0 et possède la vitesse vo au temps t=0.
5.Exprimer la force de tension T de l'élastique sur le sauteur en fonction de sa position z.
6.Etablir l'équation différentielle qui régit la position z(t) du sauteur.
7.Montrer que la fonction z(t)=Acos(
t+
)+(Lo+mg/k),où =k/m et où A et sont des constantes,est solution de l'équation différentielle précédente.
8.Montrer que A=(mg/k)(+
kLo/mg)1/2 et que tan()=(2kLo/mg)1/2.Calculer A.
9.Quelle est la position maximale Zmax du sauteur?Touchera t-il le sol?
Mes éléments de réponse.
5)T=k(L-Lo)
6.J'ai appliqué le PFD, ce qui me donne, P+T=mg et donc j'en ai tiré l'équiation différentielle suivante:
d²L/dt +k/m(L-Lo)=-g
7.Je pense pour cette question qu'il suffit de remplacer z(t) dans l'équation différentielle mais mon problème ,c'est peut être que je dérive mal, sachant qu'il faut dériver 2 fois.
8.La meme chose, il faut remplacer pour voir si l'équation diff est bien vérifiée.Pour calculer A parcontre je ne sais pas? peut etre, faudrait il utiliser les conditions initiales?
9.Je pense( je ne fais que penser 
) qu'il faut utiliser z(t) et remplacer Lo par L(longueur étiré)???
Merci de m'éxpliquer étape par étape.
5) T = -k(z - Lo)
6) mg - k(z - Lo) = m d²z/dt²
d²z/dt² + (k/m).z = g + kLo/m
7)
Solution de l'équation d²z/dt² + (k/m).z = 0
p² = -(k/m)
---> z = A.cos(V(k/m).t + Phi) (avec V pour racine carrée).
Solution particulière de d²z/dt² + (k/m).z = g + kLo/m
C'est immédiat : z = (g + kLo/m)/(k/m)
z = Lo + mg/k
Solutions générale de d²z/dt² + (k/m).z = g + kLo/m :
z(t) = A.cos(V(k/m).t + Phi) + (Lo + mg/k)
Avec A et Phi des constantes d'intégration dépendant des conditions initiales (soit donc de z(0) = Lo et (dz/dt)(0) = V(2g.Lo))
8)
z(0) = Lo
Lo = A.cos(Phi) + (Lo + mg/k)
A.cos(Phi) = -mg/k
dz/dt = A.V(k/m).sin(V(k/m).t + Phi)
(dz/dt)(0) = A.V(k/m). sin(Phi)
A.V(k/m). sin(Phi) = V(2g.Lo)
A.sin(Phi) = V(2g.Lo.m/k)
On tire A et Phi du système :
A.cos(Phi) = -mg/k
A.sin(Phi) = V(2g.Lo.m/k)
En divisant membre à membre :
tan(Phi) = - k.V(2g.Lo.m/k) /(mg)
tan(Phi) = - V(2.k.Lo/(mg))
1 + tan²(Phi) = 1 + 2.k.Lo/(mg)
1/cos²(Phi) = 1 + 2.k.Lo/(mg)
cos²(Phi) = mg/(mg + 2k.Lo)
cos(Phi) = +/- V[mg/(mg + 2k.Lo)]
A.cos(Phi) = -mg/k
A = ...
Attention de réfléchir pour prendre le bon signe ...
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Sauf distration (rien relu). 
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