Niveau maths sup

dynamique et dérivations

Posté par
Sacha79 06-11-16 à 12:42

Bonjour, s'il vous plaît y'aurait-il un moyen de trouver l'expression de Vx et Vy à partir du système ci dessous sans passer par l'expression de x(t) ou y(t) (car ce n'est que dans la question suivante que je devrais trouver les équations du mouvement, alors que je les ai utilsées pour répondre à cette question) en sachant qu'on a la valeur de Vx et Vy à l'instant t=0.
Merci d'avance pour votre réponse.

$\dot{V} x = \alpha Vy$
$\dot{V} y = -\alpha Vx$

Posté par re : dynamique et dérivations 06-11-16 à 14:25

Bonjour
Une méthode classique pour résoudre ce genre d'équation différentielle couplée consiste à utiliser les nombres complexes. On pose :

$Z=x+i.y\quad;\quad V=\dot{Z}=V_{x}+i.V_{y}\;\;A=\dot{V}=\ddot{Z}=\dot{V}_{x}+i.\dot{V}_{y}$

Tu multiplies par i ta deuxième équation différentielle puis tu fais une addition “membre à membre” :

$\dot{V}_{x}+i.\dot{V}_{y}=\alpha\left(V_{y}-i.V_{x}\right)=-i.\alpha\left(V_{x}+i.V_{y}\right)$

Soit :

$\frac{dV}{dt}=-i.\alpha.V$

Tu résouds cette équation différentielle très simple du premier ordre en tenant compte des conditions initiales puis tu reviens à la réalité physique en posant : $V_{x}=\Re(V)$ et $V_{y}=\Im(V$ )...