Niveau maths sup

Dynamique du point

Posté par
logpit 30-10-11 à 10:30

Bonjour à tous,
J'ai un gros point faible en mécanique et j'ai un DM à rendre dans quelques jours sur la dynamique du point ...
Apparemment les questions posées sont basiques, sans piège, mais je n'arrive à rien faire (ou presque).
Voilà l'énoncé :
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PROBLEME I
Le référentiel lié à la surface de la terre, sera supposé galiléen, et l'accélération de pesanteur g constante.
Un projectile, assimilé à un point matériel M de masse m, est lancé dans un plan vertical (Oxz) avec une vitesse initiale v(0) faisant un angle α avec l'horizontal Ox.
I. Dans une première partie, on néglige les frottements de l'air.
-Déterminer la vitesse v du projectile en fonction du temps. On prendra soin de préciser chaque étape du calcul ( en faisant un schéma).
=> Je trouve v(t)=gt + v(0) avec le principe fondamental de la dynamique
-Etablir les équations du mouvement x(t) et z(t) de M ainsi que l'équation de la trajectoire.
-Calculer le temps t(s) nécessaire au projectile pour atteindre le sommet S de la trajectoire et donner la position de S.

II. On suppose maintenant que M est soumis à une force de frottement due à l'air opposée à sa vitesse du type : F = -kv , k étant une constante positive. On posera τ=m/k
Préciser l'unité de τ et donner son nom.
Déterminer la vitesse v du projectile en fonction du temps. Montrer qu'elle tend vers une vitesse limite v(lim) que l'on précisera. On prendra soin de préciser chaque étape du calcul ( en faisant un schéma) .
Etablir les équations du mouvement x(t) et z(t) de M. Montrer que la trajectoire du projectile admet une asymptote verticale.
Calculer le temps t(s) nécessaire au projectile pour atteindre le sommet S de la trajectoire et donner la position de S.
A.N. v(0) = v(lim) et α = π/2. Calculer l'altitude de S et comparer à l'altitude atteinte lorsqu'on néglige les frottements .

Voilà, donc à part la première question à laquelle j'ai répondu, je n'arrive à rien faire ... Pourriez-vous m'aider svp ?
Merci

Posté par re : Dynamique du point 30-10-11 à 13:01

Bonjour,

On a un objet soumis simplement à son propre poids, on applique le principe fondamentale de la dynamique:

Je suppose que l'axe (Ox) est l'axe horizontal et l'axe (Oz) l'axe vertical donc le poids sera selon l'axe (Oz).

$\sum \vec{F_{ext}}=m.\vec{a_{M/R}}$

Donc suivant x et z:

$m.\ddot x=0$             <=>   $\ddot x=0$
$m.\ddot z=-m.g$      <=>   $\ddot z=-g$

En intégrant une fois, on obtiendra la vitesse selon x et z:

$\dot x=\dot x_0$
$\dot z=-g.t+\dot z_0$

Vo est projetée selon l'axe (Ox) et (Oy) et on a: $\vec{V_0}=V_0.cos(\alpha).\vec{ex} +V_0.sin(\alpha).\vec{ez}$

Ce qui donne lorsque l'on remplace dans les deux équations:

$\dot x=V_0.cos(\alpha)$
$\dot z=-g.t+V_0.sin(\alpha)$

Là on a l'expression de la vitesse suivant chacun des axes puisque la vitesse est un vecteur.

Si on veut les équations du mouvement x(t) et z(t), il suffit d'intégrer encore une fois les équations précédentes. Et pour avoir l'équation de la trajectoire, on isole t dans l'une des équations et ensuite on remplace t dans la deuxième équation comme cela on a l'équation de la trajectoire en fonction de x et z et non plus en fonction du temps.

Calculer le temps nécessaire au projectile pour atteindre le sommet S, revient à calculer les valeurs qui annulent la dérivée de la position par rapport au temps pour trouver les maximums, autrement dit il faut calculer V(t)=0.

Pour connaitre la position de ce point S, il faut remplacer t par la valeur que l'on trouvera à la question précédente dans les équations du mouvements et on obtiendra les coordonnées de S suivant x et z.